I. Mehānika

Apļveida kustība ir vienkāršākais ķermeņa izliekuma kustības gadījums. Ķermenim pārvietojoties ap noteiktu punktu, kopā ar nobīdes vektoru ir ērti ievadīt leņķisko nobīdi ∆ φ (griešanās leņķis attiecībā pret apļa centru), ko mēra radiānos.

Zinot leņķisko nobīdi, var aprēķināt apļveida loka (ceļa) garumu, ko ķermenis ir šķērsojis.

∆ l = R ∆ φ

Ja griešanās leņķis ir mazs, tad ∆ l ≈ ∆ s.

Ilustrēsim teikto:

Leņķiskais ātrums

Ar līknes kustību tiek ieviests leņķiskā ātruma ω jēdziens, tas ir, griešanās leņķa izmaiņu ātrums.

Definīcija. Leņķiskais ātrums

Leņķiskais ātrums dotajā trajektorijas punktā ir leņķiskās nobīdes ∆ φ attiecības robeža ar laika intervālu ∆ t, kurā tas noticis. ∆ t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Leņķiskā ātruma mērvienība ir radiāns sekundē (r a d s).

Pastāv saistība starp ķermeņa leņķisko un lineāro ātrumu, pārvietojoties pa apli. Formula leņķiskā ātruma noteikšanai:

Vienmērīgi kustoties aplī, ātrumi v un ω paliek nemainīgi. Mainās tikai lineārā ātruma vektora virziens.

Šajā gadījumā vienmērīga kustība aplī ietekmē ķermeni ar centripetālu jeb normālu paātrinājumu, kas virzīts pa apļa rādiusu uz tā centru.

a n = ∆ v → ∆ t, ∆ t → 0

Centrpetālā paātrinājuma moduli var aprēķināt, izmantojot formulu:

a n = v 2 R = ω 2 R

Pierādīsim šīs attiecības.

Apskatīsim, kā vektors v → mainās īsā laika periodā ∆ t. ∆ v → = v B → - v A → .

Punktos A un B ātruma vektors ir vērsts tangenciāli uz apli, savukārt ātruma moduļi abos punktos ir vienādi.

Pēc paātrinājuma definīcijas:

a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Apskatīsim attēlu:

Trijstūri OAB un BCD ir līdzīgi. No tā izriet, ka O A A B = B C C D .

Ja leņķa ∆ φ vērtība ir maza, attālums A B = ∆ s ≈ v · ∆ t. Ņemot vērā, ka O A = R un C D = ∆ v līdzīgiem iepriekš apskatītajiem trīsstūriem, iegūstam:

R v ∆ t = v ∆ v vai ∆ v ∆ t = v 2 R

Kad ∆ φ → 0, vektora ∆ v → = v B → - v A → virziens tuvojas virzienam uz apļa centru. Pieņemot, ka ∆ t → 0, mēs iegūstam:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R .

Vienmērīgi kustoties ap apli, paātrinājuma modulis paliek nemainīgs, un vektora virziens laika gaitā mainās, saglabājot orientāciju uz apļa centru. Tāpēc šo paātrinājumu sauc par centripetālu: vektors jebkurā laika brīdī ir vērsts uz apļa centru.

Centrpetālā paātrinājuma ierakstīšana vektora formā izskatās šādi:

a n → = - ω 2 R → .

Šeit R → ir tāda apļa punkta rādiusa vektors, kura izcelsme atrodas tā centrā.

Kopumā paātrinājums, pārvietojoties pa apli, sastāv no diviem komponentiem - normālā un tangenciālā.

Apskatīsim gadījumu, kad ķermenis ap apli pārvietojas nevienmērīgi. Ieviesīsim tangenciālā (tangenciālā) paātrinājuma jēdzienu. Tā virziens sakrīt ar ķermeņa lineārā ātruma virzienu un katrā apļa punktā ir vērsts tam pieskares.

a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆ t → 0

Šeit ∆ v τ = v 2 - v 1 - ātruma moduļa izmaiņas intervālā ∆ t

Kopējā paātrinājuma virzienu nosaka normālā un tangenciālā paātrinājuma vektoru summa.

Apļveida kustību plaknē var aprakstīt, izmantojot divas koordinātas: x un y. Katrā laika momentā ķermeņa ātrumu var sadalīt komponentos v x un v y.

Ja kustība ir vienmērīga, lielumi v x un v y, kā arī atbilstošās koordinātas laika gaitā mainīsies saskaņā ar harmonikas likumu ar periodu T = 2 π R v = 2 π ω

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Vienotā valsts eksāmena kodifikatora tēmas: kustība pa apli ar nemainīgu absolūto ātrumu, centripetālais paātrinājums.

Vienota kustība ap apli - Šis ir diezgan vienkāršs kustības piemērs ar paātrinājuma vektoru, kas ir atkarīgs no laika.

Ļaujiet punktam griezties pa rādiusa apli. Punkta ātrums ir nemainīgs absolūtā vērtībā un vienāds ar . Ātrumu sauc lineārais ātrums punktus.

Aprites periods - šis ir vienas pilnas revolūcijas laiks. Periodam mums ir acīmredzama formula:

. (1)

Biežums ir perioda reciproks:

Frekvence parāda, cik pilnu apgriezienu punkts veic sekundē. Frekvenci mēra apgr./s (apgriezieni sekundē).

Ļaujiet, piemēram, . Tas nozīmē, ka šajā laikā punkts padara cilvēku pilnīgu
apgrozījums Tad frekvence ir vienāda ar: r/s; sekundē punkts veic 10 pilnus apgriezienus.

Leņķiskais ātrums.

Apskatīsim punkta vienmērīgu rotāciju Dekarta koordinātu sistēmā. Novietosim koordinātu sākumpunktu apļa centrā (1. att.).

Rīsi. 1. Vienota kustība pa apli

Ļaut būt punkta sākuma pozīcijai; citiem vārdiem sakot, punktā bija koordinātas . Ļaujiet punktam pagriezties leņķī un ieņemt pozīciju.

Rotācijas leņķa attiecību pret laiku sauc leņķiskais ātrums punktu rotācija:

. (2)

Leņķi parasti mēra radiānos, tāpēc leņķisko ātrumu mēra rad/s. Laikā, kas vienāds ar rotācijas periodu, punkts pagriežas leņķī. Tāpēc

. (3)

Salīdzinot formulas (1) un (3), iegūstam sakarību starp lineāro un leņķisko ātrumu:

. (4)

Kustības likums.

Tagad noskaidrosim rotējošā punkta koordinātu atkarību no laika. Mēs redzam no att. 1 tas

Bet no formulas (2) mums ir: . Tāpēc

. (5)

Formulas (5) ir galvenās mehānikas problēmas risinājums punkta vienmērīgai kustībai pa apli.

Centripetālais paātrinājums.

Tagad mūs interesē rotācijas punkta paātrinājums. To var atrast, divreiz diferencējot attiecības (5):

Ņemot vērā formulas (5), mums ir:

(6)

Iegūtās formulas (6) var uzrakstīt kā vienu vektoru vienādību:

(7)

kur ir rotējošā punkta rādiusa vektors.

Redzam, ka paātrinājuma vektors ir vērsts pretēji rādiusa vektoram, t.i., uz apļa centra pusi (skat. 1. att.). Tāpēc sauc par paātrinājumu punktam, kas vienmērīgi pārvietojas ap apli centripetāls.

Turklāt no formulas (7) iegūstam centripetālā paātrinājuma moduļa izteiksmi:

(8)

Izteiksim leņķisko ātrumu no (4)

un aizstājiet to ar (8). Iegūsim citu centripetālā paātrinājuma formulu.

Apļveida kustība ir īpašs izliektas kustības gadījums. Ķermeņa ātrums jebkurā līknes trajektorijas punktā ir vērsts tam tangenciāli (2.1. att.). Šajā gadījumā ātrums kā vektors var mainīties gan lielumā (lielumā), gan virzienā. Ja ātruma modulis paliek nemainīgs, tad runājam par vienmērīga izliekta kustība.

Ļaujiet ķermenim pārvietoties pa apli ar nemainīgu ātrumu no punkta 1 uz punktu 2.

Šajā gadījumā ķermenis laikā t veiks ceļu, kas vienāds ar loka garumu ℓ 12 starp punktiem 1 un 2. Tajā pašā laikā rādiusa vektors R, kas novilkts no apļa 0 centra līdz punktam, griezīsies leņķī Δφ.

Ātruma vektors punktā 2 atšķiras no ātruma vektora punktā 1 par virziens pēc vērtības ΔV:

;

Lai raksturotu ātruma vektora izmaiņas ar vērtību δv, mēs ieviešam paātrinājumu:

(2.4)

Vektors jebkurā trajektorijas punktā, kas vērsta pa rādiusu Rк centrs aplis, kas ir perpendikulārs ātruma vektoram V 2. Tāpēc paātrinājums , kas raksturo ātruma izmaiņas līknes kustības laikā virzienā sauc centripetāls vai normāls. Tādējādi punkta kustība pa apli ar nemainīgu absolūto ātrumu ir paātrināta.

Ja ātrums mainās ne tikai virziens, bet arī modulis (lielums), tad papildus parastajam paātrinājumam viņi arī iepazīstina tangenss (tangenciāls) paātrinājums , kas raksturo ātruma izmaiņas lielumā:

vai

Virzīts vektors pa tangenti jebkurā trajektorijas punktā (t.i., sakrīt ar vektora virzienu ). Leņķis starp vektoriem Un vienāds ar 90 0.

Punkta, kas pārvietojas pa izliektu ceļu, kopējais paātrinājums tiek definēts kā vektora summa (2.1. att.).

.

Vektoru modulis
.

Leņķiskais ātrums un leņķiskais paātrinājums

Kad materiālais punkts pārvietojas apkārtmērā Rādiusa vektors R, kas novilkts no apļa O centra līdz punktam, griežas pa leņķi Δφ (2.1. att.). Lai raksturotu rotāciju, tiek ieviesti leņķiskā ātruma ω un leņķiskā paātrinājuma ε jēdzieni.

Leņķi φ var izmērīt radiānos. 1 rad ir vienāds ar leņķi, kas balstās uz loka ℓ vienāds ar apļa rādiusu R, t.i.

vai ℓ 12 = Rφ (2.5.)

Diferencēsim vienādojumu (2.5.)

(2.6.)

Vērtība dℓ/dt=V momentā. Tiek izsaukts lielums ω =dφ/dt leņķiskais ātrums(mēra rad/s). Iegūsim sakarību starp lineāro un leņķisko ātrumu:

Lielums ω ir vektors. Vektora virziens noteikts skrūvju noteikums: tas sakrīt ar skrūves kustības virzienu, orientēts pa punkta vai ķermeņa rotācijas asi un pagriezts korpusa griešanās virzienā (2.2. att.), t.i.
.

Leņķiskais paātrinājumssauc par leņķiskā ātruma (momentānā leņķiskā paātrinājuma) vektora daudzuma atvasinājumu.

, (2.8.)

Vektors sakrīt ar rotācijas asi un ir vērsta tajā pašā virzienā kā vektors , ja rotācija ir paātrināta, un pretējā virzienā, ja griešanās ir lēna.

Ātrumsnķermeņus laika vienībā saucrotācijas ātrums .

Tiek saukts laiks T vienam pilnam ķermeņa apgriezienamrotācijas periods . KurāRapraksta leņķi Δφ=2π radiāni

Ar to teikto

, (2.9)

Vienādojumu (2.8) var uzrakstīt šādi:

(2.10)

Tad paātrinājuma tangenciālā sastāvdaļa

un  =R(2,11)

Normālo paātrinājumu a n var izteikt šādi:

ņemot vērā (2.7) un (2.9)

(2.12)

Pēc tam pilns paātrinājums.

Rotācijas kustībai ar nemainīgu leņķisko paātrinājumu , mēs varam uzrakstīt kinemātisko vienādojumu pēc analoģijas ar vienādojumu (2.1) – (2.3) translācijas kustībai:

,

.