I. 力学

円運動は、物体の曲線運動の最も単純なケースです。 物体が特定の点の周りを移動する場合、変位ベクトルとともに角変位 Δ φ (円の中心に対する回転角度) をラジアン単位で入力すると便利です。

角変位が分かると、物体が通過した円弧 (パス) の長さを計算できます。

∆ l = R ∆ φ

回転角が小さい場合は、∆ l ≈ ∆ s となります。

これまで述べられてきたことを説明してみましょう。

角速度

曲線運動では、角速度 ω、つまり回転角の変化率の概念が導入されます。

意味。 角速度

軌道の特定の点での角速度は、角変位 Δ φ と角変位が発生した期間 Δ t の比率の限界です。 Δt → 0 。

ω = ∆ φ ∆ t 、∆ t → 0 。

角速度の測定単位はラジアン/秒 (ra d s) です。

円運動するときの物体の角速度と線速度の間には関係があります。 角速度を求める公式:

円内での等速運動では、速度 v と ω は変化しません。 線速度ベクトルの方向のみが変化します。

この場合、円内での等速運動は、円の半径に沿って中心に向かう向心加速度、つまり法線加速度によって物体に影響を与えます。

a n = ∆ v → ∆ t 、∆ t → 0

向心加速度の係数は、次の式を使用して計算できます。

a n = v 2 R = ω 2 R

これらの関係を証明してみましょう。

ベクトル v → が短い時間 ∆ t でどのように変化するかを考えてみましょう。 Δ v → = v B → -v A → 。

点 A と B では、速度ベクトルは円の接線方向を向いていますが、両方の点の速度モジュールは同じです。

加速度の定義によると、次のようになります。

a → = ∆ v → ∆ t 、∆ t → 0

写真を見てみましょう:

三角形 OAB と BCD は相似です。 これから、 O A A B = B C C D が得られます。

角度 ∆ φ の値が小さい場合、距離 A B = ∆ s ≈ v · ∆ t となります。 上で検討した相似な三角形について、O A = R および C D = Δ v を考慮すると、次のようになります。

R v ∆ t = v ∆ v または ∆ v ∆ t = v 2 R

∆ φ → 0 のとき、ベクトル ∆ v → = v B → - v A → の方向は円の中心方向に近づきます。 ∆ t → 0 と仮定すると、次のようになります。

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; Δt → 0 ; a n → = v 2 R 。

円の周りの均一な動きでは、加速度係数は一定のままであり、ベクトルの方向は時間とともに変化し、円の中心への方向を維持します。 この加速度が向心性と呼ばれるのはこのためです。ベクトルはどの時点でも円の中心に向かっています。

向心加速度をベクトル形式で書くと次のようになります。

a n → = - ω 2 R → 。

ここで R → は中心を原点とする円上の点の動径ベクトルです。

一般に、円運動するときの加速度は、法線方向と接線方向の 2 つの成分で構成されます。

物体が円の周りを不均一に動く場合を考えてみましょう。 接線方向（接線方向）加速度の概念を紹介します。 その方向は物体の線速度の方向と一致し、円の各点ではそれに接する方向を向いています。

a τ = ∆ v τ ∆ t ; Δt → 0

ここで、Δ v τ = v 2 - v 1 - 区間 Δ t にわたる速度モジュールの変化

総加速度の方向は、法線方向の加速度と接線方向の加速度のベクトル和によって決まります。

平面内の円運動は、x と y の 2 つの座標を使用して説明できます。 各瞬間において、物体の速度は成分 v x と v y に分解できます。

動きが均一であれば、量 v x と v y および対応する座標は、周期 T = 2 π R v = 2 π ω の調和法則に従って時間とともに変化します。

テキスト内のエラーに気付いた場合は、それを強調表示して Ctrl+Enter を押してください。

統一国家試験コードのトピック: 絶対速度が一定の円運動、向心加速度。

円の周りの均一な動き - これは、時間に依存する加速度ベクトルを使用した動きの非常に単純な例です。

点を半径 の円に沿って回転させます。 点の速度は絶対値で一定であり、 に等しい。 スピードという 線速度ポイント。

流通期間 - これは完全な 1 回転の時です。 期間については明らかな公式があります。

. (1)

頻度 は周期の逆数です。

周波数は、ポイントが 1 秒間に何回完全に回転するかを示します。 周波数は rps (1 秒あたりの回転数) で測定されます。

たとえば、 とします。 つまり、そのポイントが完了するまでの間、
ひっくり返す この場合、周波数は r/s に等しくなります。 ポイントは 1 秒あたり 10 回転します。

角速度。

デカルト座標系における点の一様な回転を考えてみましょう。 座標の原点を円の中心に置きましょう（図1）。

米。 1. 円内での均一な動き

を点の初期位置としましょう。 言い換えれば、その点には座標がありました。 ポイントをある角度に回転させ、位置を決めます。

回転角度と時間の比は次のように呼ばれます。 角速度 点の回転:

. (2)

通常、角度はラジアンで測定されるため、角速度はラジアン/秒で測定されます。 回転周期に等しい時間内に、点はある角度だけ回転します。 それが理由です

. (3)

式 (1) と (3) を比較すると、線速度と角速度の関係が得られます。

. (4)

運動の法則。

次に、回転点の座標の時間依存性を調べてみましょう。 図からわかります。 1 それ

しかし、式 (2) から次のようになります。 したがって、

. (5)

式 (5) は、円に沿った点の等速運動に関する力学の主な問題の解決策です。

向心加速度。

ここで、回転点の加速度に興味があります。 これは、関係 (5) を 2 回微分することで求められます。

式 (5) を考慮すると、次のようになります。

(6)

結果の式 (6) は、1 つのベクトル等式として書くことができます。

(7)

ここで、 は回転点の半径ベクトルです。

加速度ベクトルが半径ベクトルの反対方向、つまり円の中心に向かっていることがわかります (図 1 を参照)。 したがって、円の周りを均一に移動する点の加速度は次のように呼ばれます。 求心的な。

さらに、式 (7) から、向心加速度の係数の式が得られます。

(8)

(4)より角速度を表しましょう

それを(8)に代入します。 向心加速度の別の式を求めてみましょう。

円運動は、曲線運動の特殊なケースです。 曲線軌道の任意の点における物体の速度は、その点の接線方向に向けられます (図 2.1)。 この場合、ベクトルとしての速度は、大きさ（大きさ）と方向の両方が変化する可能性があります。 スピードモジュールの場合 変わらないなら、それから話しましょう 等速曲線運動。

物体を点 1 から点 2 まで一定の速度で円を描くように動かします。

この場合、物体は時間 t で点 1 と点 2 の間の円弧 ℓ 12 の長さに等しい経路を移動します。 同時に、円 0 の中心から点まで描いた動径ベクトル R は角度 Δφ だけ回転します。

点 2 の速度ベクトルは、点 1 の速度ベクトルと次の点で異なります。 方向ΔV の値によって次のように計算されます。

;

速度ベクトルの変化を値 δv で特徴付けるために、加速度を導入します。

(2.4)

ベクター 半径 Rк に沿った軌道の任意の点 中心速度ベクトル V 2 に垂直な円。 したがって加速度は 、曲線運動中の速度の変化を特徴づけます。 方向は呼ばれます 求心性または正常。 したがって、一定の絶対速度での円に沿った点の移動は次のようになります。 加速された.

スピードなら 方向だけでなく弾性率（大きさ）も変化し、通常の加速度に加えて変化します。 彼らも紹介しています タンジェント（接線方向）加速度 、速度の大きさの変化を特徴づけます。

または

有向ベクトル 軌道の任意の点の接線に沿って (つまり、ベクトルの方向と一致します) ）。 ベクトル間の角度 そして 90 0 に相当します。

曲線経路に沿って移動する点の合計加速度はベクトル和として定義されます (図 2.1)。

.

ベクトルモジュール
.

角速度と角加速度

素材点が移動した場合 円周方向に円の中心 O から点まで引かれた半径ベクトル R は、角度 Δφ だけ回転します (図 2.1)。 回転を特徴付けるために、角速度 ω と角加速度 ε の概念が導入されます。

角度 φ はラジアンで測定できます。 1ラドは、円の半径 R に等しい円弧 ℓ にかかる角度に等しくなります。つまり、

または ℓ 12 = Rφ (2.5.)

式 (2.5.) を微分してみましょう。

(2.6.)

値 dℓ/dt=V 瞬時。 量 ω =dφ/dt は次のように呼ばれます。 角速度(rad/sで測定)。 線速度と角速度の関係を取得してみましょう。

量 ω はベクトルです。 ベクトルの方向 決定した ネジ定規: ねじの移動方向と一致し、点または本体の回転軸に沿って配向され、本体の回転方向に回転します (図 2.2)。
.

角加速度角速度（瞬間角加速度）のベクトル量導関数と呼ばれる

, (2.8.)

ベクター 回転軸と一致し、ベクトルと同じ方向を向いています。 回転が加速すると逆方向、回転が遅い場合はその逆になります。

スピードn単位時間あたりの物体は呼び出されます回転速度 .

物体の 1 回転にかかる時間 T は次のように呼ばれます。回転周期 。 その中でR角度 Δφ=2π ラジアンを表します

とは言うものの

, (2.9)

式 (2.8) は次のように書くことができます。

(2.10)

次に、加速度の接線成分

かつ  =R(2.11)

通常の加速度 a n は次のように表すことができます。

(2.7) と (2.9) を考慮して

(2.12)

続いてフル加速。

角加速度  が一定の回転運動の場合、並進運動の方程式 (2.1) – (2.3) から類推して運動学方程式を書くことができます。

,

.