Prezentācija: Kopas un darbības ar tām. prezentācija algebras stundai par tēmu

Šajā prezentācijā “Daudzi. Komplekta elements”, 7. klases skolēni varēs detalizēti aplūkot šo pašu jēdzienu nozīmi matemātikā. Aiz titullapas ar tēmas nosaukumu 2. slaidā ir kopu piemēri. Patiesībā to var būt ļoti daudz, bet tas nav galvenais. Šie piemēri liek skolēniem saprast, ka kopa, pirmkārt, ir vienā veselumā apvienotu līdzīgu objektu grupa, un attiecīgi tai ir sakarīgs nosaukums.

slaidi 1-2 (Prezentācijas tēma "Komplekts. Komplekta elements", piemērs)

Trešajā slaidā ir paskaidrots, ka kopu var izmantot ar pāra, naturālajiem un daļskaitļiem. Katrai situācijai ir dots konkrēts piemērs. Tajā pašā sadaļā, izmantojot piecstūra ilustrāciju, ir paskaidrots, kas ir kopas elements. Šī materiāla vizuālā prezentācija ļauj studentiem vieglāk iedomāties abstraktus priekšmeta jēdzienus.

Tālāk atsevišķs slaids ir veltīts pirmskaitļu kopai. Lai labāk izprastu šo materiālu, ir sniegti vairāki piemēri, kuros pirmskaitļi ir ietverti noteiktā kopā. Tas nepieciešams, lai students saprastu, ka kopa var saturēt vai nu vienu, vai vairākus pirmskaitļus, vai arī tajā var nebūt neviena pirmskaitļa. Rezultātā saruna nonāk līdz faktam, ka matemātikā ir vēl viens jēdziens, ko sauc par “tukšu” kopu.

3.–4. slaidi (piemēri. dalītāja definīcija)

Nākamajā slaidā ar ilustrāciju palīdzību īsi tiek parādīts pareizais komplekta apzīmējums. To var rakstīt gan alfabēta, gan ciparu formātā atkarībā no dotajiem kopas elementiem.

Tālāk izglītojošā prezentācijā ir informācija par turpmākajiem komplektu veidiem. To var izmantot arī ar veseliem skaitļiem, naturāliem skaitļiem un racionāliem skaitļiem. Šajā slaidā sniegtajos piemēros varat viegli saprast, kā elementi jāuzskata par piederīgiem kopai vai, gluži pretēji, nepiederošiem.

5.–6. slaidi (piemēri)

Tālāk mēs runāsim par komplekta īpašībām. Šī materiāla prezentācijas procesā skolēniem tiks skaidri izskaidrots, kāda ir tāda jēdziena kā “kopas raksturīga īpašība” būtība. Lai skolēniem būtu iespēja precīzāk atcerēties šīs matemātiskās parādības definīciju, prezentācijas slaidā tiks sniegts tās nozīmes atšifrējums.

Pēc tam ir dots piemērs par doto skaitļu kopas īsu uzrakstīšanu. Šajā piemērā ir doti visi 14 veselie skaitļi. Turklāt skolēnam tiek paskaidrots, kā īsi aprakstīt faktu, ka kopa var būt lielāka vai mazāka par naturālu skaitli, kas sniedzas ārpus tās robežām.

slaidi 7-8 (raksturīgo īpašību definīcija, piemēri, jautājumi)

Sapratuši iepriekš minēto materiālu, skolēni mācās rakstīt kopu kopā ar dotajiem mainīgajiem. Nākamajā slaidā parādīts pavisam cits piemērs. Tas attiecas uz daudziem daudzkārtējiem. Piemērā ir 5 skaitļi, kas ir 5 reizes. Un zem tiem ir izteiksme ar mainīgajiem, kas atbilst šai kopai.

slaidi 9-10 (raksturīgo īpašību definīcija, piemēri, jautājumi)

Prezentācijas pēdējais slaids ļauj studentiem atrisināt sarežģītāku problēmu. Pirmkārt, ir dota izteiksme ar kopas C mainīgajiem, un zem tās ir kopas D skaitliskā izteiksme. Šī uzdevuma būtība ir tāda, ka kopai C jāatrod skaitliskā izteiksme, ņemot vērā to, ka abas kopas ir vienādas viena ar otru, tas ir, tām ir vienādi kopas elementi.

Pēc tam, kad skolēni ir izpildījuši uzdevumu, tiek prezentēta nodarbības “Komplekts. Komplekta elements" tiks pabeigts, un skolēni varēs sākt uzdot jautājumus par aptverto materiālu. Šāda veida nodarbības tās vienkāršības un skaidrības dēļ kļūs par diezgan efektīvu līdzekli, ko izmanto izglītības programmās priekšmetā “Matemātika”.

Lai izmantotu prezentāciju priekšskatījumus, izveidojiet Google kontu un piesakieties tajā: ​​https://accounts.google.com

Slaidu paraksti:

Daudzas. Iestatīt darbības

“Kopa ir daudzas lietas, ko mēs domājam par vienu” - kopu teorijas pamatlicējs Georgs Kantors (1845-1918) - vācu matemātiķis, loģiķis, teologs, bezgalīgo kopu teorijas radītājs, kam bija izšķiroša ietekme uz kopu teoriju. matemātikas zinātņu attīstība 19. un 20. gadsimta mijā.

Ārpasaules kopu piemēri Piemēram, nedēļas dienu kopa sastāv no elementiem: pirmdiena, otrdiena, trešdiena, ceturtdiena, piektdiena, sestdiena, svētdiena. Daudzi mēneši - no elementiem: janvāris, februāris, marts, aprīlis, maijs, jūnijs, jūlijs, augusts, septembris, oktobris, novembris, decembris.

Kopu piemēri matemātikā ir: a) visu naturālo skaitļu kopa N, b) visu veselo skaitļu kopa Z (pozitīvs, negatīvs un nulle), c) visu racionālo skaitļu kopa Q, d) visu reālo skaitļu kopa. skaitļi R Aritmētisko darbību kopa - no elementiem: saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana.

Kopu piemēri ģeometrijā ir: a) daudzu veidu trijstūri, b) daudzi daudzstūri

Divu kopu A un B krustpunkts ir kopa C = A B, kas sastāv no visiem elementiem x, kas vienlaikus atrodas kopā A un kopā B. A B = (x), kur x A un x B M = a c

A 1. UZDEVUMS 2. UZDEVUMS

Divu kopu A un B savienība ir kopa A B, kas sastāv no visiem elementiem, kas pieder pie A vai B. C = A B = (x), kur x A vai x B. A - klases meitenes, B - klases zēni. klase, C - visa klase

Apakškopa Tukša kopa Vienādas kopas A = B

A=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) Nr. 1 Kāda kopa tiek definēta, uzskaitot šos elementus? #2 Uzstādiet daudz krokodilu, kas lido debesīs. Dotās kopas A = (3, 5, 0, 11, 12, 19), B = (2, 4, 8, 12, 18,0). Atrodiet kopas AU B, A B Nr. 3 B = (A, E, I, O, U, E, Yu, Z)

Risinājums Ceturtajā penālī ir jāiekļauj objekti, kas jau ir atrasti pirmajos trīs penāļos, bet tikai vienu reizi. Šī ir zila pildspalva, oranžs zīmulis un sarkana dzēšgumija. Atbilde Zila pildspalva, oranžs zīmulis, sarkana dzēšgumija. Problēma Pirmajā penālī ir violeta pildspalva, zaļš zīmulis un sarkana dzēšgumija; otrajā - zila pildspalva, zaļš zīmulis un dzeltena dzēšgumija; trešajā - violeta pildspalva, oranžs zīmulis un dzeltena dzēšgumija. Šo penāļu saturu raksturo šāds raksts: katrā no tiem precīzi viens priekšmetu pāris sakrīt gan pēc krāsas, gan pēc mērķa. Kam jābūt ceturtajā penālī, lai šis raksts saglabātos? Padoms Padomājiet par to, vai ceturtajā penālī var būt violeta pildspalva.

Nr.5 Izmantojot Eilera apļus, uzzīmējiet kopu K un L krustpunktu, ja: a) K L b) L K c) K = L d) K L = K K = L L K L K

Risinājums: Apzīmēsim ar x to cilvēku skaitu, kuri vienlaikus ir matemātiķi un filozofi. Tad matemātiķu skaits ir 7 x, bet filozofu skaits ir 9 x. Ja x 0, tad ir vairāk filozofu. Ko tas nozīmē, ka x = 0? Tas nozīmē, ka ne viens, ne otrs vispār nepastāv, tas ir, tie ir “vienādi sadalīti”. Šī ir pareizā atbilde, kas formāli apmierina problēmas nosacījumus. Un tie, kas uz to norādīja, ir divtik labi darīts! Lai gan risinājums tika ieskaitīts arī tiem, kas analizēja tikai gadījumu, kad matemātiķi joprojām pastāv. Atbilde: Ja ir vismaz viens filozofs vai matemātiķis, tad ir vairāk filozofu. Problēma Matemātiķu vidū katrs septītais ir filozofs, bet starp filozofiem katrs devītais ir matemātiķis. Kuru ir vairāk: filozofu vai matemātiķu? Padoms Apsveriet cilvēkus, kas vienlaikus ir matemātiķi un filozofi.

es Komplekta jēdziens.

Kopu teorija dzimusi 1873. gada 7. decembrī. Šīs teorijas pamatlicējs ir vācu matemātiķis un filozofs Georgs Kantors (1845–1918). Viņu interesēja jautājums, kuri skaitļi ir lielāki – dabiski vai reāli? Vienā no vēstulēm, kas adresētas savam draugam Ričardam Dedekindam, Kantors rakstīja, ka viņš ar kopām spēj pierādīt, ka ir vairāk reālu skaitļu nekā naturālu skaitļu. Dienu, kad šī vēstule tika datēta, matemātiķi uzskata par kopu teorijas dzimšanas dienu.

Kas īsti ir komplekti? “Vairāki ir daudz, kas tiek uztverti kā viens” (G. Kantors). Kopas jēdziens ir tik vienkāršs, ikdienā pieņemts un pārcelts uz matemātiku, ka nav definēts, bet izskaidrojams ar piemēru palīdzību: daudzas pilsētas, daudzi štati, daudzi skolēni. Objektus, objektus, kas veido doto kopu, sauc par to elementi. Matemātikā tiek uzskatītas tikai tās kopas, kurām ir skaidri noteiktas īpašības un kuras sastāv no elementiem, kuriem ir dažas kopīgas īpašības.

Ir vairāki veidi, kā apzīmēt kopas. Jūs varat pārrakstīt visus komplekta elementus cirtainos lencēs.

Tajā pašā laikā mēs skaidri redzam, no kādiem elementiem komplekts sastāv. Bet šis apzīmējums ir neērts, aprakstot kopas ar lielu skaitu elementu vai kopas, kuru elementu skaitu nevar uzskaitīt pilnībā, tas ir, bezgalīgas kopas. Piemēram, nav iespējams pierakstīt visus skaitļu kopas elementus, kas dalās ar 10. Šajā gadījumā kopu raksta šādi:

.

Lai ērtāk strādātu ar komplektiem, tie tiek apzīmēti ar lielo burtu.

Ja kopai nav viena elementa, tad tā tiek izsaukta tukšs komplekts un ir norādīts? . Piemēram, ir spārnotu vaļu komplekts, un ir tukšs komplekts.

Arī pašas kopas var būt kopas elementi

Lai tiek dots komplekts. 3. elements pieder komplektam IN, tas ir apzīmēts kā . 8. elements komplektā neietilpst IN, to norāda .

Vingrinājumi

II. Kopu vienlīdzība.

Ļoti svarīga komplekta īpašība ir tā, ka tajā nav identisku elementu, vai drīzāk, ka tie visi atšķiras viens no otra. Tas nozīmē, ka varat rakstīt tik daudz identisku elementu, cik vēlaties, taču tie darbosies kā viens. Tas nozīmē, ka kopa nevar saturēt vienus un tos pašus elementus vairākās versijās. Pieņemsim, ka mēs pierakstījām kopu. Šajā komplektā 7. elements tiek atkārtots vairākas reizes, bet mēs to uzskatīsim par vienu. Tāpēc mūsu pulks būs .

Apskatīsim divas kopas un . Šīs kopas sastāv no vieniem un tiem pašiem elementiem, lai gan tie ir rakstīti atšķirīgā secībā. Šādas kopas sauc par vienādām. Tātad divi komplekti ir vienādi, ja tie satur vienus un tos pašus elementus.

Vingrinājumi

III. Apakškopa.

Apsveriet vairākas dienas nedēļā. Pierakstīsim to.

Tagad mēs izvēlēsimies tikai darba dienas. Viņi veido daudzus.

Paskatīsimies, kādās attiecībās ir komplekts R, ņemot vērā tā elementus, attiecībā pret kopu S. Var pamanīt, ka visi komplekta elementi R iekļauts daudzos S. Tātad ir daudz R ir daļa no komplekta S vai apakškopa. Tāpēc, ja katrs kāda komplekta elements R vienlaikus ir arī kopas elements S, tad varam tā teikt R – apakškopa komplekti S. Tas ir apzīmēts šādi. Pats daudzums S ir arī sava apakškopa. Ir ļoti svarīgi atzīmēt, ka tukšā kopa ir katras kopas apakškopa. Tas nozīmē, ka, ja mums ir jāpieraksta visas kopas apakškopas, mēs rakstīsim: .

Vingrinājumi

1. Dotie komplekti:

1. ķekars A mūsu skolas 5. klases skolēni;
2. ķekars IN visi mūsu skolas skolēni;
3. ķekars AR mūsu skolas 5. klases skolēni apmeklē baseinu;
4. ķekars E visi skolēni Novokuzņeckas pilsētā;
5. ķekars UZ mūsu skolas 5. matemātikas klases skolēni.

Vai tā ir taisnība, ka:

1. ķekars A ir kopas apakškopa IN;
2. ķekars A ir kopas apakškopa UZ;
3. ķekars IN ir kopas apakškopa E;
4. ķekars UZ ir kopas apakškopa AR;

Izmantojot I zīmi, pierakstiet kopu nosaukumus tādā secībā, lai katra nākamā kopa būtu iepriekšējās kopas apakškopa.

2. Daudziem pierakstiet visas tā apakškopas.

IV. Daudzu krustojums.

Apsveriet divus komplektus Un . Izveidosim jaunu komplektu AR, kurā ierakstām kopu kopīgos elementus A Un IN. Viņiem kopīgs ir 5. un 6. elementi, kas nozīmē . ķekars AR sauca krustojums komplekti A Un IN. Tas ir apzīmēts šādi:

Kopu A un B krustpunkts ir jauna kopa, kurā ir tie un tikai tie elementi, kas vienlaikus pieder gan kopai A, gan kopai B.

Ļaujiet R- mūsu skolā daudzi skolēni mācās matemātikas stundās, UZ ir piektās klases skolēnu kopa, tad (kopu krustpunktā R Un UZ) būs daudz piektās klases matemātikas skolēnu.

Kopām nav viena kopīga elementa, tāpēc to krustpunkts ir tukšā kopa O

Vingrinājumi

1. Komplekti ir doti. Atrodi) ; b) ; V) ; G) .

2. Atrast, ja a) ; b)

V. Komplektu savienība.

Ņemsim tos pašus divus komplektus Un . Tagad izveidosim komplektu Ešādi - mēs tajā ierakstām elementus, kas pieder vismaz vienai no kopām A Un IN. Mēs saņemam daudz. ķekars E sauc par kopu savienību A Un IN. Norādīts

Kopu A un B savienība ir jauna kopa, kas sastāv no tiem un tikai tiem elementiem, kas pieder vismaz vienai no kopām A vai B.

Vingrinājumi

1. Komplekti ir doti. Atrast: A) ; b) ; V) ; G) .

2. Atrodiet, vai un .

3. Dotās kopas. Atrast: A) ; b) ; V) ;
G) .

VI. Komplektu atšķirība.

Ņemsim jau pazīstamos komplektus Un . Izveidosim jaunu komplektu F kurā ierakstām kopas elementus A, nav iekļauts komplektā IN. . ķekars F sauc par kopu starpību A Un IN. Norādīts A\ IN= F.

Divu kopu A un B atšķirība ir kopa, kas ietver visus kopas A elementus, kas nepieder kopai B.

Ir svarīgi atzīmēt, ka, atņemot kopas, tās nevar apmainīt. Atrodot atšķirību IN\ A mēs ierakstīsim kopas elementus jaunajā komplektā IN, kas neietilpst komplektā A. Līdzekļi IN\A =.

Vingrinājumi

Komplekti tiek doti. Atrodi) ; b) ; V) ; G) .

Atrast un ja un .

Komplekti tiek doti. Atrodi) ; b) ; V) ;
G)

VII. Eilera apļi.

Viens no izcilākajiem Sanktpēterburgas akadēmijas matemātiķiem Leonards Eilers (1707–1783) savas ilgās dzīves laikā uzrakstīja vairāk nekā 850 zinātniskus rakstus. Vienā no tiem parādījās apļi, kas "ir ļoti piemēroti mūsu pārdomu veicināšanai". Šos apļus sauca Eilera apļi. Ar šo apļu palīdzību ir ērti ģeometriski ilustrēt kopas darbības. Attēlos parādītas darbību ilustrācijas komplektos. Var zīmēt ne tikai apļus, bet arī ovālus, taisnstūrus un citas ģeometriskas formas. Puiši. “Matemātiskā” apļa iekšpusē M Ir 20 puiši, kas nozīmē, ka viņi atrodas tajā “bioloģiskā” apļa daļā, kas atrodas ārpus apļa M, ir biologi, kuri neapmeklē matemātikas pulciņu. Pārējie biologi, viņu cilvēks, atrodas aprindu vispārējā daļā MB. Līdz ar to 6 biologi interesējas par matemātiku.

Atbilde. Par matemātiku interesējas 6 biologi .

Vingrinājumi

1. Klasē mācās 29 skolēni. Katrs no viņiem mācās vismaz vienu valodu – angļu vai vācu. 18 cilvēki mācās angļu valodu, 15 cilvēki mācās vācu valodu. Cik cilvēku mācās divas valodas, gan vācu, gan angļu?
2. Klasē mācās 29 skolēni. No tiem 16 mācās mūziku, 21 apmeklē matemātikas pulciņu; 4 nespēlē mūziku un neapmeklē matemātikas pulciņu. Cik skolēnu apmeklē tikai matemātikas pulciņu? Cik matemātiķu arī mācās mūziku?
3. Pionieru nometnē ir 70 bērni. No tiem 27 ir iesaistīti drāmas klubā, 32 dzied korī, 22 aizraujas ar sportu. Drāmas pulciņā ir 10 puiši no kora, korī 6 sportisti, drāmas pulciņā 8 sportisti; Gan drāmas pulciņu, gan kori apmeklē 3 sportisti. Cik bērnu nedzied, neinteresējas par sportu, nepiedalās drāmas pulciņā? Cik puiši nodarbojas tikai ar sportu?
4. Klasē ir 38 cilvēki. No tiem 16 cilvēki spēlē basketbolu, 17 cilvēki spēlē hokeju, 18 cilvēki spēlē volejbolu. Viņiem patīk divi sporta veidi - basketbols un hokejs 4 cilvēki, basketbols un volejbols 3 cilvēki, volejbols un hokejs 5 cilvēki. Trīs neinteresējas ne basketbolā, ne volejbolā, ne hokejā. Cik bērnu interesē trīs sporta veidi vienlaikus?

Jautājumi tematiskajam testam par tēmu
“Kopu teorijas elementi”

Nepieciešamās prasmes: parādīt krustojumu, savienojumu, kopu atšķirību uz Eilera apļiem; atrast kopu krustpunktu, savienojumu, starpību, atrisināt kombinētos piemērus; atrisināt vienkāršas problēmas, izmantojot Eilera apļus.