Главная Рак желудка

К прямым измерениям относятся. Виды и методы измерений

По способу получения значений физической величины измерения могут быть прямыми, косвенными, совокупными и совместными, каждое из которых проводится абсолютным и относительным методами (см. п. 3.2.).

Рис. 3. Классификация видов измерений

Прямое измерение – измерение, при котором искомое значение величины находят непосредственно из опытных данных. Примерами прямых измерений являются определения длины с помощью линейных мер или температуры термометром. Прямые измерения составляют основу более сложных косвенных измерений.

Косвенное измерение – измерение, при котором искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, полученными прямыми измерениями, например, тригонометрические методы измерения углов, при которых острый угол прямого треугольника определяют по измеренным длинам катетов и гипотенузы или измерение среднего диаметра резьбы методом трех проволочек или, мощности электрической цепи по измеренным вольтметром напряжению и амперметром силе тока, используя известную зависимость. Косвенные измерения в ряде случаев позволяют получить более точные результаты, чем прямые измерения. Например, погрешности прямых измерений углов угломерами на порядок выше погрешностей косвенных измерений углов с помощью синусных линеек.

Совместными называют производимые одновременно измерения двух или нескольких разноименных величин. Целью этих измерений является нахождение функциональной связи между величинами.

Пример 1. Построение градуировочной характеристики y = f(x) измерительного преобразователя, когда одновременно измеряются наборы значений:

X 1 , X 2 , X 3 , …, X i , …,X n

Y 1 , Y 2 , Y 3 , …, Y i , …,Y n

Пример 2 . Определение температурного коэффициента сопротивления путем одновременного измерения сопротивления R и температуры t , а затем определение зависимости a(t) = DR/Dt :

R 1 , R 2 , …, R i , …, R n

t 1 , t 2 , …, t i , …, t n

Совокупные измерения осуществляются путем одновременного измерения нескольких одноименных величин, при которых искомое значение находят решением системы уравнений, получаемых в результате прямых измерений различных сочетаний этих величин.

Пример: значение массы отдельных гирь набора определяют по известному значению массы одной из гирь и по результатам измерений (сравнений) масс различных сочетаний гирь.

Имеются гири массами m 1 , m 2 , m 3 .

Масса первой гири определится следующим образом:

Масса второй гири определится как разность массы первой и второй гирь М 1,2 и измеренной массы первой гири :

Масса третьей гири определится как разность массы первой, второй и третьей гирь (M 1,2,3 ) и измеренных масс первой и второй гирь ():

Часто именно этим путем добиваются повышения точности результатов измерения.

Совокупные измерения отличаются от совместных только тем, что при совокупных измерениях одновременно измеряют несколько одноименных величин, а при совместных – разноименных.

Совокупные и совместные измерения часто применяют при измерении различных параметров и характеристик в области электротехники.

По характеру изменения измеряемой величины бывают статические, динамические и статистические измерения.

Статические – измерения неизменных во времени ФВ например, измерение длины детали при нормальной температуре.

Динамические – измерения изменяющихся во времени ФВ, например измерение расстояния до уровня земли со снижающегося самолета, или напряжение в сети переменного тока.

Статистические измерения связаны с определением характеристик случайных процессов, звуковых сигналов, уровня шумов и т.д.

По точности существуют измерения с максимально возможной точностью, контрольно-поверочные и технические.

Измерения с максимально возможной точностью – это эталонные измерения, связанные с точностью воспроизведения единиц физической величины, измерения физических констант. Эти измерения определяются существующим уровнем техники.

Контрольно–поверочные – измерения, погрешность которых не должна превышать некоторое заданное значение. К ним относятся измерения, выполняемые лабораториями государственного надзора за внедрением и соблюдением стандартов и состоянием измерительной техники, измерения заводскими измерительными лабораториями и другие, осуществляемые при помощи средств и методик, гарантирующих погрешность, не превышающую заранее заданного значения.

Технические измерения – измерения, в которых погрешность результата определяется характеристиками средств измерений (СИ). Это наиболее массовый вид измерений, проводится с помощью рабочих СИ, погрешность которых заранее известна и считается достаточной для выполнения данной практической задачи.

Измерения по способу выражения результатов измерений могут быть также абсолютными и относительными.

Абсолютное измерение – измерение, основанное на прямых измерениях одной или нескольких основных величин, а также на использовании значений физических констант. При линейных и угловых абсолютных измерениях, как правило, находят одну физическую величину, например, диаметр вала штангенциркулем. В некоторых случаях значения измеряемой величины определяют непосредственным отсчетом по шкале прибора, отградуированного в единицах измерения.

Относительное измерение – измерение отношения величины к одноименной величине, играющей роль единицы. При относительном методе измерений производится оценка значения отклонения измеряемой величины относительно размера установочной меры или образца. Примером является измерение на оптиметре или миниметре.

По числу измерений различают однократные и многократные измерения.

Однократные измерения – это одно измерение одной величины, т.е. число измерений равно числу измеряемых величин. Практическое применение такого вида измерений всегда сопряжено с большими погрешностями, поэтому следует проводить не менее трех однократных измерений и находить конечный результат как среднее арифметическое значение.

Многократные измерения характеризуются превышением числа измерений количества измеряемых величин. Обычно минимальное число измерений в данном случае больше трех. Преимущество многократных измерений – в значительном снижении влияний случайных факторов на погрешность измерения.

Приведенные виды измерений включают различные методы, т.е. способы решения измерительной задачи с теоретическим обоснованием по принятой методике.

Определение 1

Измерение представляет собой комплекс определенных действий с целью выявления соотношения одной однородной величины, которая измеряется, к другой, хранящейся в средстве измерений. Полученное в итоге значение и есть числовое значение измеряемой физической величины.

Понятие измерения в физике

Процесс измерения показателя физической величины на практике осуществляется посредством задействования разнообразных измерительных средств и специальных приборов, установок и систем.

Измерение физической величины включает в себя два базовых этапа:

сравнение величины, которая измеряется с единицей;
разные способы индикации для преобразования в комфортную форму.

Принцип измерений считается физическим явлением (эффектом), положенным в основу измерения. Метод измерений является одним приемом или комплексом определенных измерительных действий, осуществляемых в соответствии с реализованными принципами измерений.

Характеризует точность измерения полученная погрешность. В более упрощенном формате, путем прикладывания линейки с делениями к определенной детали, в сущности, производится сравнение ее размера с единицей на линейке и после выполнения соответствующих расчетов получается значение величины (толщины, длины, высоты и прочих параметров измеряемой детали).

Замечание 1

В случаях невозможности произведения измерительных действий, на практике происходит оценка таких величин с опорой на условные шкалы (например, шкалы Мооса и Рихтера, характеризующие твердость металлов и землетрясения).

Важность существования и классификация измерений в физике

Определение 2

Наука, отвечающая за исследование всех аспектов измерений, называется метрологией.

Измерения в физике занимают существенную позицию, поскольку позволяют сравнивать результаты теоретического и экспериментального исследований. Все измерения классифицируются определенным образом:

соответственно видам измерений (косвенные, прямые, совокупные (когда производится комплексное измерение нескольких одноименных величин, где искомое значение определяется путем решения системы соответствующих уравнений при различных сочетаниях величин), совместные (с целью определения взаимосвязи между несколькими неодноименными величинами);
согласно методам измерений (непосредственная оценка (значение величины устанавливается путем расчетов исключительно по показывающему средству измерений), сравнение с мерой, измерение замещением (где измеряемая величина замещается мерой с уже известным значением величины), нулевой, дифференциальный (выполняется сравнение измеряемой величины с однородной величиной с уже известным значением, несущественно отличающимся от нее, и где устанавливается разность между данными двумя величинами), измерение дополнением);
по назначению (метрологические и технические);
по точности (детерминированные и случайные);
согласно отношению к изменениям измеряемой величины (динамические и статические);
исходя из количественного показателя измерений (многократные и однократные);
по конечным показателям измерений (относительное (характеризуется измерением отношения физической величины к выступающей в роли единицы одноименной (исходной) величине, и абсолютное (опирается на прямые измерения одной либо нескольких ключевых величин и применении значений физических постоянных величин (констант).

Понятие прямых и косвенных измерений в физике

Замечание 2

Полученные, согласно результатам измерений, значения разных величин могут в действительности оказаться зависимыми друг от друга. В физике устанавливается связь между подобными величинами и выражается в формате определенных формул, демонстрирующих процесс нахождения числовых значений одних величин по аналогичным значениям других.

Согласно классификационному признаку, измерения могут подразделяться на прямые и косвенные, что выступает непосредственной характеристикой их вида.

Прямым измерением считается измерение, согласно которому, искомые значения физических величин получаются непосредственным образом. В случае проведения прямых измерений, в измерительных целях привлекаются специализированные приборы, отвечающие за изменение самой исследуемой величины. Так, массу тел, например, можно узнать, используя показатель на весах, длина узнается за счет измерения линейкой, а время засекается с помощью секундомера.

Косвенное измерение считается в физике установлением искомого значения величины на основании полученных при измерении результатов прямого измерения остальных физических величин, взаимосвязанных функциональным образом с исходной величиной.

Те же величины в иных случаях могут находиться исключительно благодаря косвенным измерениям – пересчету остальных важных величин, чьи значения были получены в процессе прямых измерений.

Так физики вычисляют расстояние от нашей планеты до Солнца, массу Земли или, например, продолжительность геологических периодов. Измерение плотности тел, согласно показателям их объемов и массы, скорости поездов (по величине пройденного за известное время пути), также нужно отнести к косвенному измерению.

Поскольку физика не является точной наукой, подобно математике, абсолютная точность ей не присуща. Так, в рамках физических экспериментов любой вид измерения (как косвенный, так и прямой) может давать не точное, а лишь приблизительное значение измеряемой физической величины.

Замечание 3

При измерении, например, длины полученный результат будет зависимым от точности выбранного прибора (к примеру, штангенциркуль позволяет осуществлять измерения с точностью до 0,1 мм, а линейка - только до 1 мм); от качества внешних условий, таких как температура, влажность, склонность к деформационным состояниям и пр.

Следовательно, результаты косвенных измерений, вычисляемые по приближенным результатам, получившимся при прямых измерениях, также окажутся приблизительными. По этой причине, параллельно с результатом, всегда требуется указание его точности, называемой абсолютной погрешностью результатов.

Метрологией называется наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности.

Измерением называется нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств . Результатом измерения является количественная характеристика физической величины в виде числа единиц измеряемой величины и погрешность, с которой получено данное число.

Виды измерений. В зависимости от способа получения числового значения измеряемой величины измерения делятся на прямые, косвенные и совокупные измерения.

Прямыми называются измерения, при которых искомое значение величины получают из опытных данных. При прямых измерениях экспериментальные операции производятся над самой измеряемой величиной. Числовое значение измеряемой величины получают в экспериментальном сравнении с мерой или по показаниям приборов. Например, измерение тока амперметром, напряжения вольтметром, температуры термометром, массы на весах.

Косвенными называют такие измерения, при которых числовое значение измеряемой величины определяется по известной функциональной зависимости через другие величины, которые можно прямо измерить. При косвенных измерениях числовое значение измеряемой величины получают с участием оператора на основе прямых измерений – решением одного уравнения. К косвенным измерениям прибегают в тех случаях, когда неудобно или невозможно осуществить автоматическое вычисление известной зависимости между одной или несколькими входными величинами и измеряемой величиной. Например, мощность в цепях постоянного тока определяет оператор, умножая напряжение на ток, измеренные прямым измерением с помощью амперметра и вольтметра.

Отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины называют погрешностью измерения .

Абсолютная погрешность измерения равна разности между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины : .

Относительная погрешность измерения представляет собой отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеряемой величины. Обычно относительная погрешность выражается в процентах %.

25. Основные понятия и определения: информация, алгоритм, программа, команда, данные, технические устройства.

Информация - от латинского слова "information", что означает сведения, разъяснения, изложение.

Применительно к компьютерной обработке данных под информацией понимают некоторую последовательность символических обозначений (букв, цифр, закодированных графических образов и звуков и т.п.), несущую смысловую нагрузку и представленную в понятном компьютеру виде. Каждый новый символ в такой последовательности символов увеличивает информационный объём сообщения.

Алгоритм - последовательность чётко определенных действий, выполнение которых ведёт к решению задачи. Алгоритм, записанный на языке машины, есть программа решения задачи.

Свойства алгоритмов: дискретность, понятность, результативность, определенность, массовость.

Программа - последовательность действий, инструкций, предписаний для некоторого вычислительного устройства; файл, содержащий эту последовательность действий.

Команда - это указание компьютерной программе действовать как некий интерпретатор для решения задачи. В более общем случае, команда - это указание некоему интерфейсу командной строки.

Данные - информация, представленная в формализованном виде, что обеспечивает возможность ее хранения, обработки и передачи.

Технические устройства (средства информатизации) – это совокупность систем, машин, приборов, механизмов, устройств и прочих видов оборудования, предназначенных для автоматизации различных технологических процессов информатики, причем таких, выходным продуктом которых является именно информация (сведения, знания) или данные, используемые для удовлетворения информационных потребностей в разных областях предметной деятельности общества.

При косвенных измерениях значение искомой величины находят по результатам прямых измерений других величин, с которыми измеряемая величина связана функциональной зависимостью. Пример косвенных измерений - измерение удельного сопротивления проводника по результатам измерения его сопротивления, площади поперечного сечения и длины.

В общем случае при косвенных измерениях имеет место нелинейная зависимость между измеряемой величиной и её аргументами

Если каждый из аргументов характеризуется своей оценкой и погрешностью

то (3.19) запишется в следующем виде:

Выражение (3.20) можно разложить в ряд Тейлора по степеням:

где - остаточный член ряда.

Из этого выражения можно записать абсолютную погрешность измерения X

Если принять R0 =0, что справедливо при малых погрешностях аргументов (xi0), то получаем линейное выражение для погрешности измерения. Такая операция называется линеаризацией нелинейного уравнения (3.19). В получаемом в этом случае выражении для погрешности - коэффициенты влияния, а Wixi - частные погрешности.

Пренебречь остаточным членом при оценке погрешности допустимо не всегда, т.к. в этом случае оценка погрешности оказывается смещенной. Поэтому, когда связь между X и xi в выражении (3.19) нелинейная, проверяют допустимость линеаризации по следующему критерию

где в качестве остаточного члена берут член ряда второго порядка

Если известны границы погрешностей аргументов (случай наиболее часто встречающийся при однократных измерениях), то легко определить максимальную погрешность измерения X:

Эту оценку обычно принимают при однократных измерениях и числе аргументов меньше 5.

При нормальном распределении всех аргументов и одинаковых доверительных вероятностях, выражение (3.25) упрощается

Обычно, особенно при однократных измерениях, законы распределения аргументов неизвестны, а вид суммарного распределения определить практически невозможно, учитывая трансформацию законов распределения при нелинейной связи измеряемой величины X и её аргументов. В этом случае в соответствии с методом ситуационного моделирования принимают закон распределения аргументов равновероятным. При этом доверительная граница погрешности результата косвенного измерения определится по формуле

где зависит от выбранной вероятности, числа слагаемых и соотношения между ними. Для равных по величине слагаемых и для=0,95 -=1,1; для =0,99 - =1,4.

Погрешности результатов измерения аргументов могут быть заданы не границами, а параметрами систематических и случайных составляющих погрешностей - границами и СКО. В этом случае оценивают отдельно систематическую и случайную составляющие погрешности косвенного измерения, а затем объединяют полученные оценки.

Что касается суммирования систематических погрешностей (или их неисключенных остатков), то оно осуществляется в зависимости от наличия сведений о распределении погрешностей с использованием выражений (3.24) - (3.27), в которых вместо погрешностей измерений аргументов следует подставить соответствующие границы для систематических погрешностей.

Случайные погрешности результатов косвенных измерений суммируются следующим образом.

Погрешность результата косвенного наблюдения, имеющего случайные погрешности аргументов j будет равна

Определим дисперсию этой погрешности

т.к. последнее слагаемое равно нулю, то

В этом выражении - ковариационная функция (корреляционный момент), равный нулю, если погрешности аргументов независимы друг от друга.

Вместо ковариационной функции часто пользуются коэффициентом корреляции

В этом случае дисперсия результата наблюдения будет иметь вид

Для получения дисперсии результата измерения необходимо разделить это выражение на число измерений n.

В этих выражениях rij - коэффициенты попарной корреляции между погрешностями измерений. Если rij = 0, то второе слагаемое в правой части (3.30) равно нулю и общее выражение для погрешности упрощается. Значение rij либо известно априорно (в случае однократных измерений), либо (для многократных измерений) его оценка определяется для каждой пары аргументов xi и xj по формуле

Наличие корреляционной связи между погрешностями аргументов имеет место в том случае, когда аргументы измеряются одновременно, однотипными приборами, находящимися в одинаковых условиях. Причиной возникновения корреляционной связи является изменение условий измерения (пульсации напряжения питающей сети, переменные наводки, вибрации и т.д.). О наличии корреляции удобно судить по графику, на котором изображены пары последовательно получаемых результатов измерений величин xi и xj .

При малом числе наблюдений может оказаться, что rij 0 даже при отсутствии корреляционной связи между аргументами. В этом случае необходимо пользоваться числовым критерием отсутствия корреляционной связи, который состоит в выполнении неравенства

где - коэффициент Стьюдента для заданной вероятности и числа измерений (табл. А5).

Границы случайной погрешности после определения оценки дисперсии результатов измерения определяются по формуле

где при неизвестном результирующем распределении берется из неравенства Чебышева

Неравенство Чебышева дает завышенную оценку погрешности результата измерений. Поэтому, когда число аргументов больше 4, распределение их одномодальны и среди погрешностей нет резко выделяющихся, число измерений, выполненных при измерении всех аргументов превышает 25-30, то определяется из нормированного нормального распределения для доверительной вероятности.

Трудности возникают при меньшем числе наблюдений. В принципе можно было бы воспользоваться распределением Стьюдента, но неизвестно как в этом случае определить число степеней свободы. Точного решения эта задача не имеет. Приближенную оценку числа степеней свободы, называемую эффективной, можно найти по формуле, предложенной Б. Уэлчем

Имея и заданную вероятность можно найти по распределению Стьюдента и, следовательно, .

Если при разложении в ряд Тейлора необходимо учитывать члены второго порядка, то дисперсию результата наблюдения следует определять по формуле

Границы суммарной погрешности измерений оценивают аналогично тому, как это было сделано для случая прямых измерений.

В общем случае, при многократных косвенных измерениях статистическая обработка результатов сводится к выполнению следующих операций:

1) из результата наблюдений каждого аргумента исключаются известные систематические погрешности;
2) проверяют, соответствует ли распределение групп результатов каждого аргумента заданному закону распределения;
3) проверяют наличие резко выделяющихся погрешностей (промахов) и исключают их;
4) вычисляют оценки аргументов и параметры их точности;
5) проверяют отсутствие корреляции между результатами наблюдений аргументов попарно;
6) вычисляют результат измерений и оценки параметров его точности;
7) находят доверительные границы случайной погрешности, неисключенную систематическую погрешность и общую погрешность результата измерения.

Частные случаи вычисления погрешностей при косвенных измерениях

Наиболее простыми, но распространенными случаями зависимости между аргументами при косвенных измерениях являются случаи линейной зависимости, степенных одночленов и дифференциальной функции.

В случае линейной зависимости

не требуется проведения линеаризации выражения для погрешности, которое, очевидно будет иметь вид

То есть, вместо коэффициентов влияния можно использовать коэффициенты из выражения (3.34). Дальнейшее определение погрешности измерения будет производиться аналогично косвенным измерениям с линеаризацией.

Из этого выражения можно определить коэффициенты влияния

Подставляя (3.36) в (3.35) и деля обе части на, получаем искомую относительную погрешность

где - относительные погрешности измерения аргументов.

Таким образом, в случае уравнения измерения в виде степенных одночленов и представлении погрешностей в относительной форме, в качестве коэффициентов влияния берутся степени соответствующих одночленов.

Практический прием нахождения коэффициентов влияния при выражении погрешностей в форме относительных погрешностей состоит в том, что уравнение измерения сначала логарифмируют, а потом дифференцируют. В рассматриваемом случае

То есть полученное выражение аналогично (3.37).

В метрологии часто встречается дифференциальная функция вида

Дисперсия результата измерения в этом случае будет равна

Малое значение дисперсии может быть только в случае, когда в этом случае

Во всех остальных случаях отлично от нуля. При отсутствии корреляции

Максимальное значение дисперсии результата измерения будет в том случае, когда в этом случае

Таким образом, при измерении малых разностей дисперсия результата измерения может быть соизмерима с самим результатом измерения.

Критерий ничтожных погрешностей

Не все частные погрешности косвенных измерений играют одинаковую роль в формировании итоговой погрешности результата.

Поэтому интересно оценить, при каких условиях их присутствие не оказывает влияния на результат измерения.

При вероятностном суммировании результирующая погрешность будет равна

При отбрасывании k-й погрешности

откуда следует

и, следовательно,

Отличие между и можно считать незначительным, если оно не будет превышать погрешности округления при выражении значения погрешности результата измерения. Так как последняя не должна выражается более чем двумя значащими цифрами, а максимальная погрешность округления не будет превышать половины старшего отбрасываемого разряда, то отличие между и будет незначительным, если

С учетом предыдущего выражения

Таким образом, частной погрешностью можно пренебречь в том случае, когда она в три раза меньше, чем суммарная погрешность косвенного измерения.

Совместные измерения

Совместными называются проводимые одновременно измерения двух или нескольких неодноименных величин для нахождения зависимости между ними

Наиболее часто на практике определяют зависимость Y от одного аргумента x

При этом совместно измеряют n значений аргумента xi, i = 1, 2,... , n и соответствующие значения величины Yi и по полученным данным определяют функциональную зависимость (3.39). Этот случай мы и будем рассматривать в дальнейшем. Применяемые при этом методы прямо переносятся на зависимость от нескольких аргументов.

В метрологии совместные измерения двух аргументов применяются при градуировке СИТ, в результате которой определятся градуировочная зависимость, приводимая в паспорте СИТ в виде таблицы, графика или аналитического выражения. Предпочтительнее всего задавать ее в аналитическом виде, поскольку такая форма представления наиболее компактна и удобна для решения широкого круга практических задач.

Примером совместных измерений может служить задача определения температурной зависимости сопротивления терморезистора

R(t) = R20 + (t-20) + (t -20)2,

где R20 - сопротивление терморезистора при 20 оС;

Температурные коэффициенты сопротивления.

Для определения R20 , или производится измерение R(t) в n температурных точках (n>3) и по этим результатам определяется искомая зависимость.

При определении зависимости в аналитическом виде следует придерживаться следующего порядка действий.

1. Построить график искомой зависимости Y=f(x).
2. Задать предполагаемый функциональный вид зависимости

Y=f(x, A0, A1, … Am), (3.40)

где Aj - неизвестные параметры зависимости.

Вид зависимости может быть известен либо из физических закономерностей, описывающих явление, положенное в основу работы СИТ, либо на основе предыдущего опыта и предварительного анализа данных (анализ графика искомой зависимости).

3. Выбрать метод определения параметров этой зависимости. При этом необходимо учитывать выбранный вид зависимости и априорные сведения о погрешности измерения xi и Yi.
4. Вычислить оценки параметров A j зависимости выбранного вида.
5. Оценить степень отклонения экспериментальной зависимости от аналитической, для проверки правильности выбора вида зависимости.
6. Определить погрешности нахождения, используя известные характеристики случайных и систематических погрешностей измерения x и Y.

В современной математике разработаны многочисленные методы решения таких задач. Наиболее распространенными из них является метод наименьших квадратов (МНК). Этот метод разработал Карл Фридрих Гаусс еще в 1794 г. для оценки параметров орбит небесных тел и до сих пор он с успехом используется при обработке экспериментальных данных.

В МНК оценки параметров искомой зависимости определяют из условия, что сумма квадратов отклонений экспериментальных значений Y от расчетных значений минимальна, т.е.

где - невязки.

При рассмотрении МНК ограничимся случаем, когда искомая функция - полином, т.е.

Задача заключается в том, чтобы определить такие значения коэффициентов, при которых выполнялось бы условие (3.41).

Для этого запишем выражение для невязок в каждой экспериментальной точке

Число точек n выбирают значительно больше, чем m+1.

Это, как будет показано ниже, необходимо для уменьшения погрешности определения.

Согласно принципу наименьших квадратов (3.41), наилучшими значениями коэффициентов будут те, для которых сумма квадратов невязок

будет минимальна. Минимум функции многих переменных, как известно, достигается тогда, когда все ее частные производные равняются нулю. Поэтому дифференцируя (3.44), получаем

Следовательно, вместо исходной условной системы (3.42), которая вообще говоря есть система несовместная, так как имеет n уравнений с m+1 неизвестными (n > m+1), мы получим систему линейных относительно уравнений (3.45). В ней число уравнений при любом n точно равно числу неизвестных m+1. Система (3.45) называется нормальной системой.

Таким образом, поставленная задача заключается в приведении условной системы к нормальной.

Воспользовавшись обозначениями, введенными Гауссом

и после сокращения всех уравнений на 2 и перегруппировки членов, получим

Анализируя выражение (3.42) и (3.46) видим, что для получения первого уравнения нормальной системы достаточно просуммировать все уравнения системы (3.42). Для получения второго уравнения нормальной системы (3.42), суммируются все уравнения, предварительно умноженные на xi. То есть, для получения k-го уравнения нормальной системы необходимо умножить уравнения системы (3.42) на и просуммировать полученные выражения.

Наиболее кратко решение системы (3.45) описывается с помощью определителей

где главный определитель D равен

а определители DJ получаются из главного определителя D путем замены столбца с коэффициентами при неизвестном АJ на столбец со свободными членами

Оценка СКО величин, найденных как результат совместных измерений, выражается следующей формулой

Прямыми измерениями называют такие измерения, которые получены непосредственно с помощью измерительного прибора. К прямым измерениям можно отнести измерение длины линейкой, штангенциркулем, измерение напряжения вольтметром, измерение температуры термометром и т.п. На результатах прямых измерений могут оказать влияние различные факторы. Поэтому погрешность измерений имеет различный вид, т.е. имеет место погрешность прибора, систематические и случайные погрешности, ошибки округления при снятии отсчета со шкалы прибора, промахи. В связи с этим важно выявить в каждом конкретном эксперименте, какая из ошибок измерения является наибольшей, и если окажется, что одна из них на порядок превышает все остальные, то последними погрешностями можно пренебречь.

Если же все учитываемые погрешности по порядку величины одинаковы, то необходимо оценить совместный эффект нескольких различных погрешностей. В общем случае суммарная ошибка подсчитывается по формуле:

где  – случайная погрешность,  – погрешность прибора, – погрешность округления.

В большинстве экспериментальных исследований физическая величина измеряется не прямо, а через другие величины, которые в свою очередь определяются прямыми измерениями. В этих случаях измеряемая физическая величина определяется через прямо измеренные величины посредством формул. Такие измерения называются косвенными. На языке математики это означает, что искомая физическая величина f связана с другими величинами х 1, х 2, х 3, … ,. х n функциональной зависимостью, т.е

F = f (x 1 , x 2 ,….,х n )

Примером таких зависимостей может служить объем шара

В данном случае косвенно измеряемой величиной является V - шара, которая определится при прямом измерении радиуса шара R. Данная измеряемая величина V является функцией одной переменной.

Другим примером может быть плотность твердого тела

. (8)

Здесь  – является косвенно измеряемая величина, которая определяется прямым измерением массы тела m и косвенной величиной V . Данная измеряемая величина  является функцией двух переменных, т.е.

 =  (m, V)

Теория погрешностей показывает, что погрешность функции оценивается суммой погрешностей всех аргументов. Погрешность функции будет тем меньше, чем меньше погрешностей её аргументов.

4.Построение графиков по экспериментальным измерениям.

Существенным моментом экспериментального исследования является построение графиков. При построении графиков, прежде всего необходимо выбрать систему координат. Наиболее распространенной является прямоугольная система координат с координатной сеткой, образованной равностоящими друг от друга параллельными прямыми (например, миллиметровая бумага). На осях координат через определенные промежутки наносятся деления в определенном масштабе для функции и аргумента.

В лабораторных работах при изучении физических явлений приходится учитывать изменения одних величин в зависимости от изменения других. Например: при рассмотрении движения тела устанавливается функциональная зависимость пройденного пути от времени; при изучении электросопротивления проводника от температуры. Можно привести еще множество примеров.

Переменную величину У называют функцией другой переменной величины Х (аргумент), если каждому значение У будет соответствовать вполне определенное значение величины Х , то можно записать зависимость функции в виде У = У(Х) .

Из определения функции следует, что для её задания необходимо указать два множества чисел (значений аргумента Х и функции У ), а так же закон взаимозависимости и соответствия между ними (Х и У ). Экспериментально функция может быть задана четырьмя способами:

Таблицей; 2. Аналитически, в виде формулы; 3. Графически; 4. Словесно.

Например: 1. Табличный способ задания функции –зависимости величины постоянного тока I от величины напряжения U , т.е. I = f (U ) .

Таблица 2

2.Аналитический способ задания функции устанавливается формулой, при помощи которой по заданным (известным) значениям аргумента можно определить соответствующие значения функции. Например, функциональная зависимость, приведенная в таблице 2, может быть записана формулой:

(9)

3.Графический способ задания функции.

Графиком функции I = f (U ) в декартовой системе координат называется геометрическое место точек, построенное по числовым значениям координатной точки аргумента и функции.

На рис. 1 построен график зависимости I = f (U ) , заданный таблицей.

Точки, найденные на опыте и наносимые на график, отмечаются отчетливо в виде кружочков, крестиков. На графике для каждой построенной точки необходимо указывать погрешности в виде «молоточков» (см. рис 1). Размеры этих «молоточков» должны быть равны удвоенному значению абсолютных ошибок функции и аргумента.

Масштабы графиков надо выбирать так, чтобы наименьшее расстояние, отсчитываемое по графику, было бы не меньше наибольшей абсолютной погрешности измерений. Однако такой выбор масштаба не всегда удобен. В некоторых случаях удобней взять по одной из осей несколько больший или меньший масштаб.

Если исследуемый интервал значений аргумента или функции отстоит от начала координат на величину, сравнимую с величиной самого интервала, то целесообразно перенести начало координат в точку, близкую к началу исследуемого интервала, как по оси абсцисс, так и по оси ординат.

Проведение кривой (т.е. соединение экспериментальных точек) через точки обычно осуществляется в соответствии с идеями метода наименьших квадратов. В теории вероятностей показано, что наилучшим приближением к экспериментальным точкам будет такая кривая (или прямая), для которой сумма наименьших квадратов отклонений по вертикали от точки до кривой будет минимальной.

Нанесенные на координатную бумагу точки соединяют плавной кривой, причем кривая должна проходить возможно ближе ко всем экспериментальным точкам. Проводить кривую следует так, чтобы она лежала возможно ближе к точкам не превышаемые погрешности и чтобы по обе стороны кривой оказывалось приблизительно равное их количество (см. рис. 2).

Если при построении кривой одна или несколько точек выходят за пределы области допустимых значений (см. рис. 2, точки А и В ), то кривую проводят по остальным точкам, а выпавшие точки А и В как промахи не берут в учет. Затем проводят повторные измерения в этой области (точки А и В ) и устанавливается причина такого отклонения (либо это промах или законное нарушение найденной зависимости).

Если исследуемая, экспериментально построенная функция обнаруживает «особые» точки, (например, точки экстремума, перегиба, разрыва и т.д.). То увеличивается число экспериментов при малых значениях шага (аргумента) в области особых точек.

Статьи по теме