Нахождение нод трех и большего количества чисел. Калькулятор онлайн.Нахождение (вычисление) НОД и НОК

Решим задачу. У нас есть два типа печенья. Одни шоколадные, а другие простые. Шоколадных 48 штук, а простых 36. Необходимо составить из этого печенья максимально возможное число подарков, при этом надо использовать их все.

Для начала выпишем все делители каждого из этих двух чисел, так как оба эти числа должны делиться на количество подарков.

Получаем,

48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Найдем среди делителей общие, которые есть как у первого, так и у второго числа.

Общими делителями будут: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Наибольшим из всех общих делителей является число 12. Это число называют наибольшим общим делителем чисел 36 и 48.

Исходя из полученного результата, можем заключить, что из всего печенья можно составить 12 подарков. В одном таком подарке будет 4 шоколадных печенья и 3 обычных печенья.

Определение наибольшего общего делителя

Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка два числа a и b, называют наибольшим общим делителем этих чисел.

Иногда для сокращения записи используют аббревиатуру НОД.

Некоторые пары чисел имеют в качестве наибольшего общего делителя единицу. Такие числа называют взаимно простыми числами. Например, числа 24 и 35. Имеют НОД =1.

Как найти наибольший общий делитель

Для того чтобы найти наибольший общий делитель не обязательно выписывать все делители данных чисел.

Можно поступить иначе. Сначала разложить на простые множители оба числа.

48 = 2*2*2*2*3,
36 = 2*2*3*3.

Теперь из множителей, которые входят в разложение первого числа, вычеркнем все те, которые не входят в разложение второго числа. В нашем случае это две двойки.

48 = 2*2*2*2*3 ,
36 = 2*2*3 *3.

Останутся множители 2, 2 и 3. Их произведение равно 12. Это число и будет являться наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.

Это правило можно распространить на случай с тремя, четырьмя и т.д. числами.

Общая схема нахождения наибольшего общего делителя

1. Разложить числа на простые множители.
2. Из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел.
3. Посчитать произведение оставшихся множителей.

Эта статья про нахождение наибольшего общего делителя (НОД) двух и большего количества чисел. Сначала рассмотрим алгоритм Евклида, он позволяет находить НОД двух чисел. После этого остановимся на методе, позволяющем вычислять НОД чисел как произведение их общих простых множителей. Дальше разберемся с нахождением наибольшего общего делителя трех и большего количества чисел, а также приведем примеры вычисления НОД отрицательных чисел.

Навигация по странице.

Алгоритм Евклида для нахождения НОД

Заметим, что если бы мы с самого начала обратились к таблице простых чисел , то выяснили бы, что числа 661 и 113 – простые, откуда можно было бы сразу сказать, что их наибольший общий делитель равен 1 .

Ответ:

НОД(661, 113)=1 .

Нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители

Рассмотрим еще один способ нахождения НОД. Наибольший общий делитель может быть найден по разложениям чисел на простые множители . Сформулируем правило: НОД двух целых положительных чисел a и b равен произведению всех общих простых множителей, находящихся в разложениях чисел a и b на простые множители .

Приведем пример для пояснения правила нахождения НОД. Пусть нам известны разложения чисел 220 и 600 на простые множители, они имеют вид 220=2·2·5·11 и 600=2·2·2·3·5·5 . Общими простыми множителями, участвующими в разложении чисел 220 и 600 , являются 2 , 2 и 5 . Следовательно, НОД(220, 600)=2·2·5=20 .

Таким образом, если разложить числа a и b на простые множители и найти произведение всех их общих множителей, то этим будет найден наибольший общий делитель чисел a и b .

Рассмотрим пример нахождения НОД по озвученному правилу.

Пример.

Найдите наибольший общий делитель чисел 72 и 96 .

Решение.

Разложим на простые множители числа 72 и 96 :

То есть, 72=2·2·2·3·3 и 96=2·2·2·2·2·3 . Общими простыми множителями являются 2 , 2 , 2 и 3 . Таким образом, НОД(72, 96)=2·2·2·3=24 .

Ответ:

НОД(72, 96)=24 .

В заключение этого пункта заметим, что справедливость приведенного правила нахождения НОД следует из свойства наибольшего общего делителя, которое утверждает, что НОД(m·a 1 , m·b 1)=m·НОД(a 1 , b 1) , где m – любое целое положительное число.

Нахождение НОД трех и большего количества чисел

Нахождение наибольшего общего делителя трех и большего количества чисел может быть сведено к последовательному нахождению НОД двух чисел. Мы об этом упоминали, при изучении свойств НОД. Там мы сформулировали и доказали теорему: наибольший общий делитель нескольких чисел a 1 , a 2 , …, a k равен числу d k , которое находится при последовательном вычислении НОД(a 1 , a 2)=d 2 , НОД(d 2 , a 3)=d 3 , НОД(d 3 , a 4)=d 4 , …, НОД(d k-1 , a k)=d k .

Давайте разберемся, как выглядит процесс нахождения НОД нескольких чисел, рассмотрев решение примера.

Пример.

Найдите наибольший общий делитель четырех чисел 78 , 294 , 570 и 36 .

Решение.

В этом примере a 1 =78 , a 2 =294 , a 3 =570 , a 4 =36 .

Сначала по алгоритму Евклида определим наибольший общий делитель d 2 двух первых чисел 78 и 294 . При делении получаем равенства 294=78·3+60 ; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 и 18=6·3 . Таким образом, d 2 =НОД(78, 294)=6 .

Теперь вычислим d 3 =НОД(d 2 , a 3)=НОД(6, 570) . Опять применим алгоритм Евклида: 570=6·95 , следовательно, d 3 =НОД(6, 570)=6 .

Осталось вычислить d 4 =НОД(d 3 , a 4)=НОД(6, 36) . Так как 36 делится на 6 , то d 4 =НОД(6, 36)=6 .

Таким образом, наибольший общий делитель четырех данных чисел равен d 4 =6 , то есть, НОД(78, 294, 570, 36)=6 .

Ответ:

НОД(78, 294, 570, 36)=6 .

Разложение чисел на простые множители также позволяет вычислять НОД трех и большего количества чисел. В этом случае наибольший общий делитель находится как произведение всех общих простых множителей данных чисел.

Пример.

Вычислите НОД чисел из предыдущего примера, используя их разложения на простые множители.

Решение.

Разложим числа 78 , 294 , 570 и 36 на простые множители, получаем 78=2·3·13 , 294=2·3·7·7 , 570=2·3·5·19 , 36=2·2·3·3 . Общими простыми множителями всех данных четырех чисел являются числа 2 и 3 . Следовательно, НОД(78, 294, 570, 36)=2·3=6 .

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

С понятиями наибольшего общего делителя(НОД) и наименьшего общего кратного(НОК) учащиеся средней школы, встречаются в шестом классе. Данная тема всегда трудна для усвоения. Дети часто путают эти понятия, не понимают, зачем их нужно изучать. В последнее время и в научно-популярной литературе встречаются отдельные высказывания о том, что данный материал нужно исключить из школьной программы. Думаю, что это не совсем верно, и изучать его нужно если не на уроках, то во внеурочное время на занятиях школьного компонента обязательно, так как это способствует развитию логического мышления школьников, повышению скорости вычислительных операций, умению решать задачи красивыми методами.

При изучении темы "Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями" мы учим детей находить общий знаменатель двух или более чисел. Например, нужно сложить дроби 1/3 и 1/5. Учащиеся без труда находят число, делящееся без остатка на 3 и 5 . Это число 15. Действительно, если числа небольшие, то их общий знаменатель найти легко, зная хорошо таблицу умножения. Кто-то из ребят замечает, что это число является произведением чисел 3 и 5. У детей складывается мнение, что всегда таким образом можно найти общий знаменатель для чисел. К примеру вычитаем дроби 7/18 и 5/24. Найдем произведение чисел 18 и 24 . Оно равно 432. Получили уже большое число, а если дальше нужно производить какие-то вычисления(особенно это касается примеров на все действия), то вероятность ошибки возрастает. А вот найденное наименьшее общее кратное чисел (НОК), что в этом случае равнозначно наименьшему общему знаменателю (НОЗ)-число 72 -значительно облегчит вычисления и приведет к более быстрому решению примера, а тем самым сэкономит время, отведенное на выполнение данного задания, что играет немаловажную роль при выполнении итоговых тестовых, контрольных работ, особенно во время итоговой аттестации.

При изучении темы "Сокращение дробей" можно двигаться последовательно деля числитель и знаменатель дроби на одно и то же натуральное число, используя при этом признаки делимости чисел, получив в конечном итоге несократимую дробь. Например, нужно сократить дробь 128/344. Разделим сначала числитель и знаменатель дроби на число 2, получим дробь 64/172. Ещё раз поделим числитель и знаменатель полученной дроби на 2, получим дробь 32/86. Поделить ещё раз числитель и знаменатель дроби на 2 , получим несократимую дробь 16/43. Но сокращение дроби можно выполнить гораздо проще, если мы найдем наибольший общий делитель чисел 128 и 344. НОД(128, 344) = 8. Разделив числитель и знаменатель дроби на это число, получим сразу несократимую дробь.

Нужно показать детям разные способы нахождения наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК)чисел. В простых случаях удобно находить наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК)чисел путем простого перебора. Когда числа становятся больше, можно использовать разложение чисел на простые множители. В учебнике шестого класса (автор Н.Я.Виленкин)показан следующий способ нахождения наибольшего общего делителя (НОД)чисел. Разложим числа на простые множители:

16 = 2*2*2*2
120 = 2*2*2*3*5

Затем из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркиваем те, которые не входят в разложение другого числа. Произведение оставшихся множителей и будет являться наибольшим общим делителем этих чисел. В данном случае это число 8. На своем опыте убедилась в том, что детям более понятно, если мы подчеркиваем одинаковые множители в разложениях чисел, а затем в одном из разложений находим произведение подчеркнутых множителей. Это и есть наибольший общий делитель данных чисел. В шестом классе дети активны и любознательны. Можно поставить перед ними следующую задачу: попробуйте описанным способом найти наибольший общий делитель чисел 343 и 287. Сразу не видно, как разложить их на простые множители. И вот здесь можно рассказать им про замечательный способ, придуманный древними греками, позволяющий искать наибольший общий делитель(НОД)без разложения на простые множители. Этот метод отыскания наибольшего общего делителя впервые описан в книге Евклида "Начала". Его называют алгоритмом Евклида. Заключается он в следующем: Вначале делят большее число на меньшее. Если получается остаток, то делят меньшее число на остаток. Если снова получается остаток, то делят первый остаток на второй. Так продолжают делить до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель и есть наибольший общий делитель (НОД)данных чисел.

Вернемся к нашему примеру и для наглядности запишем решение в виде таблицы.

Делимое	Делитель	Частное	Остаток
343	287	1	56
287	56	5	7
56	7	8	0

Итак, НОД(344,287) = 7

А как найти наименьшее общее кратное (НОК) тех же чисел? Нет ли и для этого какого-нибудь способа, не требующего предварительного разложения этих чисел на простые множители? Оказывается, есть, и притом очень простой. Нужно перемножить эти числа и разделить произведение на найденный нами наибольший общий делитель(НОД). В данном примере произведение чисел равно 98441. Делим его на 7 и получаем число 14063. НОК(343,287) = 14063.

Одной из трудных тем в математике является решение текстовых задач. Нужно показать учащимся, как с помощью понятий "Наибольший общий делитель (НОД)" и "Наименьшее общее кратное (НОК)" можно решать задачи, которые порой трудно решить обычным способом. Здесь уместно рассмотреть с учащимися наряду с задачами, предложенными авторами школьного учебника, старинные и занимательные задачи, развивающие любознательность детей и повышающие интерес к изучению данной темы. Умелое владение этими понятиями позволяет учащимся увидеть красивое решение нестандартной задачи. А если у ребенка после решения хорошей задачи поднимается настроение-это признак успешной работы.

Таким образом, изучение в школе таких понятий, как "Наибольший общий делитель(НОД)" и "Наименьшее общее кратное (НОК)"чисел

Позволяет экономить время, отводимое на выполнение работы, что приводит к значительному увеличению объема выполненных заданий;

Повышает скорость и точность выполнения арифметических операций, что ведет к значительному уменьшению количества допускаемых вычислительных ошибок;

Позволяет находить красивые способы решения нестандартных текстовых задач;

Развивает любознательность учащихся, расширяет их кругозор;

Создает предпосылки для воспитания разносторонней творческой личности.

Второе число: b=

Разделитель разрядов Без разделителя пробел " ´

Результат:

Наибольший общий делитель НОД(a ,b )=6

Наименьшее общее кратное НОК(a ,b )=468

Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b, называется наибольшим общим делителем (НОД) этих чисел. Обозначается НОД(a,b), (a,b), gcd(a,b) или hcf(a,b).

Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел a и b есть наименьшее натуральное число, которое делится на a и b без остатка. Обозначается НОК(a,b), или lcm(a,b).

Целые числа a и b называются взаимно простыми , если они не имеют никаких общих делителей кроме +1 и −1.

Наибольший общий делитель

Пусть даны два положительных числа a 1 и a 2 1). Требуется найти общий делитель этих чисел, т.е. найти такое число λ , которое делит числа a 1 и a 2 одновременно. Опишем алгоритм.

1) В данной статье под словом число будем понимать целое число.

Пусть a 1 ≥ a 2 , и пусть

где m 1 , a 3 некоторые целые числа, a 3 <a 2 (остаток от деления a 1 на a 2 должен быть меньше a 2).

Предположим, что λ делит a 1 и a 2 , тогда λ делит m 1 a 2 и λ делит a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Утверждение 2 статьи "Делимость чисел. Признак делимости"). Отсюда следует, что всякий общий делитель a 1 и a 2 является общим делителем a 2 и a 3 . Справедливо и обратное, если λ общий делитель a 2 и a 3 , то m 1 a 2 и a 1 =m 1 a 2 +a 3 также делятся на λ . Следовательно общий делитель a 2 и a 3 есть также общий делитель a 1 и a 2 . Так как a 3 <a 2 ≤a 1 , то можно сказать, что решение задачи по нахождению общего делителя чисел a 1 и a 2 сведено к более простой задаче нахождения общего делителя чисел a 2 и a 3 .

Если a 3 ≠0, то можно разделить a 2 на a 3 . Тогда

где m 1 и a 4 некоторые целые числа, (a 4 остаток от деления a 2 на a 3 (a 4 <a 3)). Аналогичными рассуждениями мы приходим к выводу, что общие делители чисел a 3 и a 4 совпадают с общими делителями чисел a 2 и a 3 , и также с общими делителями a 1 и a 2 . Так как a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... числа, постоянно убывающие, и так как существует конечное число целых чисел между a 2 и 0, то на каком то шаге n , остаток от деления a n на a n+1 будет равен нулю (a n+2 =0).

Каждый общий делитель λ чисел a 1 и a 2 также делитель чисел a 2 и a 3 , a 3 и a 4 , .... a n и a n+1 . Справедливо и обратное, общие делители чисел a n и a n+1 являются также делителями чисел a n−1 и a n , .... , a 2 и a 3 , a 1 и a 2 . Но общий делитель чисел a n и a n+1 является число a n+1 , т.к. a n и a n+1 без остатка делятся на a n+1 (вспомним, что a n+2 =0). Следовательно a n+1 является и делителем чисел a 1 и a 2 .

Отметим, что число a n+1 является наибольшим из делителей чисел a n и a n+1 , так как наибольший делитель a n+1 является сам a n+1 . Если a n+1 можно представить в виде произведения целых чисел, то эти числа также являются общими делителями чисел a 1 и a 2 . Число a n+1 называют наибольшим общим делителем чисел a 1 и a 2 .

Числа a 1 и a 2 могут быть как положительными, так и отрицательными числами. Если один из чисел равен нулю, то наибольший общий делитель этих чисел будет равен абсолютной величине другого числа. Наибольший общий делитель нулевых чисел не определен.

Вышеизложенный алгоритм называется алгоритмом Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел.

Пример нахождения наибольшего общего делителя двух чисел

Найти наибольший общий делитель двух чисел 630 и 434.

Шаг 1. Делим число 630 на 434. Остаток 196.
Шаг 2. Делим число 434 на 196. Остаток 42.
Шаг 3. Делим число 196 на 42. Остаток 28.
Шаг 4. Делим число 42 на 28. Остаток 14.
Шаг 5. Делим число 28 на 14. Остаток 0.

На шаге 5 остаток от деления равен 0. Следовательно наибольший общий делитель чисел 630 и 434 равен 14. Заметим, что числа 2 и 7 также являются делителями чисел 630 и 434.

Взаимно простые числа

Определение 1. Пусть наибольший общий делитель чисел a 1 и a 2 равен единице. Тогда эти числа называются взаимно простыми числами , не имеющими общего делителя.

Теорема 1. Если a 1 и a 2 взаимно простые числа, а λ какое то число, то любой общий делитель чисел λa 1 и a 2 является также общим делителем чисел λ и a 2 .

Доказательство. Рассмотрим алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя чисел a 1 и a 2 (см. выше).

Из условия теоремы следует, что наибольшим общим делителем чисел a 1 и a 2 , и следовательно a n и a n+1 является 1. Т.е. a n+1 =1.

Умножим все эти равенства на λ , тогда

Пусть общий делитель a 1 λ и a 2 есть δ . Тогда δ входит множителем в a 1 λ , m 1 a 2 λ и в a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (см. "Делимость чисел",Утверждение 2). Далее δ входит множителем в a 2 λ и m 2 a 3 λ , и, следовательно, входит множителем в a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Рассуждая так мы убеждаемся, что δ входит множителем в a n−1 λ и m n−1 a n λ , и, следовательно, в a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Так как a n+1 =1, то δ входит множителем в λ . Следовательно число δ является общим делителем чисел λ и a 2 .

Рассмотрим частные случаи теоремы 1.

Следствие 1. Пусть a и c простые числа относительно b . Тогда их произведение ac является простым числом относительно b .

Действительно. Из теоремы 1 ac и b имеют тех же общих делителей, что и c и b . Но числа c и b взаимно простые, т.е. имеют единственный общий делитель 1. Тогда ac и b также имеют единственный общий делитель 1. Следовательно ac и b взаимно простые.

Следствие 2. Пусть a и b взаимно простые числа и пусть b делит ak . Тогда b делит и k .

Действительно. Из условия утверждения ak и b имеют общий делитель b . В силу теоремы 1, b должен быть общим делителем b и k . Следовательно b делит k .

Следствие 1 можно обобщить.

Следствие 3. 1. Пусть числа a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m простые относительно числа b . Тогда a 1 a 2 , a 1 a 2 ·a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ···a m , произведение этих чисел простое относительно числа b .

2. Пусть имеем два ряда чисел

таких, что каждое число первого ряда простое по отношению каждого числа второго ряда. Тогда произведение

Требуется найти такие числа, которые делятся на каждое из этих чисел.

Если число делится на a 1 , то оно имеет вид sa 1 , где s какое-нибудь число. Если q есть наибольший общий делитель чисел a 1 и a 2 , то

где s 1 - некоторое целое число. Тогда

является наименьшим общим кратным чисел a 1 и a 2 .

a 1 и a 2 взаимно простые, то наименьшее общее кратное чисел a 1 и a 2:

Нужно найти наименьшее общее кратное этих чисел.

Из вышеизложенного следует, что любое кратное чисел a 1 , a 2 , a 3 должно быть кратным чисел ε и a 3 , и обратно. Пусть наименьшее общее кратное чисел ε и a 3 есть ε 1 . Далее, кратное чисел a 1 , a 2 , a 3 , a 4 должно быть кратным чисел ε 1 и a 4 . Пусть наименьшее общее кратное чисел ε 1 и a 4 есть ε 2 . Таким образом выяснили, что все кратные чисел a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m совпадают с кратными некоторого определенного числа ε n , которое называют наименьшим общим кратным данных чисел.

В частном случае, когда числа a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m взаимно простые, то наименьшее общее кратное чисел a 1 , a 2 как было показано выше имеет вид (3). Далее, так как a 3 простое по отношению к числам a 1 , a 2 , тогда a 3 простое по отношению числа a 1 ·a 2 (Следствие 1). Значит наименьшее общее кратное чисел a 1 ,a 2 ,a 3 является число a 1 · a 2 ·a 3 . Рассуждая аналогичным образом мы приходим к следующим утверждениям.

Утверждение 1. Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m равен их произведению a 1 ·a 2 ·a 3 ···a m .

Утверждение 2. Любое число, которое делится на каждое из взаимно простых чисел a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m делится также на их произведение a 1 ·a 2 ·a 3 ···a m .

Ланцинова Айса

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Задачи на НОД и НОК чисел Работа ученицы 6 класса МКОУ «Камышовская ООШ» Ланциновой Айсы Руководитель Горяева Зоя Эрднигоряевна, учитель математики с. Камышово, 2013г

Пример нахождения НОД чисел 50, 75 и 325. 1) Разложим числа 50, 75 и 325 на простые множители. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 2) Из множителей входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение других. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 3) Найдём произведение оставшихся множителей 5 ∙ 5 = 25 Ответ: НОД (50, 75 и 325)= 25 Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b называют наибольшим общим делителем этих чисел.

Пример нахождения НОК чисел 72, 99 и 117. 1) Разложим на простые множители числа 72, 99 и 117. 72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 99 = 3 ∙ 3 ∙ 11 117 = 3 ∙ 3 ∙13 2) Выписать множители, входящих в разложение одного из чисел 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 и добавить к ним недостающие множители остальных чисел. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3)Найдите произведение получившихся множителей. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Ответ: НОК (72, 99 и 117) = 10296 Наименьшим общим кратным натуральных чисел a и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно a и b .

Лист картона имеет форму прямоугольника, длина которого 48 см., а ширина 40 см. Этот лист надо разрезать без отходов на равные квадраты. Какие наибольшие квадраты можно получить из этого листа и сколько? Решение: 1) S = a ∙ b – площадь прямоугольника. S= 48 ∙ 40 = 1960 см ² . – площадь картона. 2) a – сторона квадрата 48: a – число квадратов, которое можно уложить по длине картона. 40: а – число квадратов, которое можно уложить по ширине картона. 3) НОД (40 и 48) = 8(см) – сторона квадрата. 4) S = a² – площадь одного квадрата. S = 8² = 64 (см ² .) – площадь одного квадрата. 5) 1960: 64 = 30 (количество квадратов). Ответ: 30 квадратов со стороной 8 см каждый. Задачи на НОД

Камин в комнате необходимо выложить отделочной плиткой в форме квадрата. Сколько плиток понадобится для камина размером 195 ͯ 156 см и каковы наибольшие размеры плитки? Решение: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (см ²) – S поверхности камина. 2) НОД (195 и 156) = 39 (см) – сторона плитки. 3) S = a² = 39² = 1521 (см ²) – площадь 1 плитки. 4) 30420: = 20 (штук). Ответ: 20 плиток размером 39 ͯ 39 (см). Задачи на НОД

Садовый участок размером 54 ͯ 48 м по периметру необходимо оградить забором, для этого через равные промежутки надо поставить бетонные столбы. Сколько столбов необходимо привезти для участка, и на каком максимальном расстоянии друг от друга будут стоять столбы? Решение: 1) P = 2(a + b) – периметр участка. P = 2(54 + 48) = 204 м. 2) НОД (54 и 48) = 6 (м) – расстояние между столбами. 3) 204: 6 = 34 (столба). Ответ: 34 столба, на расстоянии 6 м. Задачи на НОД

Из 210 бордовых, 126 белых, 294 красных роз собрали букеты, причём в каждом букете количество роз одного цвета поровну. Какое наибольшее количество букетов сделали из этих роз и сколько роз каждого цвета в одном букете? Решение: 1) НОД (210, 126 и 294) = 42 (букета). 2) 210: 42 = 5 (бордовых роз). 3) 126: 42 = 3 (белых роз). 4) 294: 42 = 7 (красных роз). Ответ: 42 букета: 5 бордовых, 3 белых, 7 красных роз в каждом букете. Задачи на НОД

Таня и Маша купили одинаковое число почтовых наборов. Таня заплатила 90 руб., а Маша на 5 руб. больше. Сколько стоит один набор? Сколько наборов купила каждая? Решение: 1) 90 + 5 = 95 (руб.) заплатила Маша. 2) НОД (90 и 95) = 5 (руб.) – цена 1 набора. 3) 980: 5 = 18 (наборов) – купила Таня. 4) 95: 5 = 19 (наборов) – купила Маша. Ответ: 5 рублей, 18 наборов, 19 наборов. Задачи на НОД

В портовом городе начинаются три туристских теплоходных рейса, первый из которых длится 15 суток, второй – 20 и третий – 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот же день снова отправляются в рейс. Сегодня из порта вышли теплоходы по всем трём маршрутам. Через сколько суток они впервые снова вместе уйдут в плавание? Какое количество рейсов сделает каждый теплоход? Решение: 1) НОК (15,20 и 12) = 60 (суток) – время встречи. 2) 60: 15 = 4 (рейса) – 1 теплоход. 3) 60: 20 = 3 (рейса) – 2 теплоход. 4) 60: 12 = 5 (рейсов) – 3 теплоход. Ответ: 60 суток, 4 рейса, 3 рейса, 5 рейсов. Задачи на НОК

Маша для Медведя купила в магазине яйца. По дороге в лес она сообразила, что число яиц делится на 2,3,5,10 и 15. Сколько яиц купила Маша? Решение: НОК (2;3;5;10;15) = 30 (яиц) Ответ: Маша купила 30 яиц. Задачи на НОК

Требуется изготовить ящик с квадратным дном для укладки коробок размером 16 ͯ 20 см. Какова должна быть наименьшая длина стороны квадратного дна, чтобы уместить коробки в ящик вплотную? Решение: 1) НОК (16 и 20) = 80 (коробок). 2) S = a ∙ b – площадь 1 коробки. S = 16 ∙ 20 = 320 (см ²) – площадь дна 1 коробки. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (см ²) – площадь квадратного дна. 4) S = а² = а ∙ а 25600 = 160 ∙ 160 – размеры ящика. Ответ: 160 см- сторона квадратного дна. Задачи на НОК

Вдоль дороги от пункта К стоят столбы электролинии через каждые 45 м. Эти столбы решили заменить другими, поставив их на расстоянии 60 м друг от друга. Сколько столбов было и сколько будут стоять? Решение: 1) НОК (45 и 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 –было столбов. 3) 180: 60 = 3 – стало столбов. Ответ: 4 столба, 3 столба. Задачи на НОК

Сколько солдат маршируют на плацу, если они будут маршировать строем по 12 человек в шеренге и перестраиваться в колонну по 18 человек в шеренге? Решение: 1)НОК (12 и 18) = 36 (человек) – маршируют. Ответ: 36 человек. Задачи на НОК

Статьи по теме