Как найти взаимное расположение графиков. Видеоурок «Взаимное расположение графиков линейных функций

>>Математика: Взаимное расположение графиков линейных функций

Взаимное расположение графиков

линейных функций

Вернемся еще раз к графикам линейных функций у = 2х- - 4 и у = 2х + 6, представленным на рисунке 51. Мы уже отмечали (в § 30), что эти две прямые параллельны прямой у = 2х, а значит, параллельны друг другу. Признаком параллельности служит равенство угловых коэффициентов (k = 2 для всех трех прямых: и для у = 2х, и для у = 2х - 4, и для у = 2х + 6). Если же угловые коэффициенты различны, как, например, у линейных функций у = 2х и у - Зх + 1, то прямые, служащие их графиками, не параллельны, и тем более не совпадают. Следовательно, указанные прямые пересекаются. Вообще, справедлива следующая теорема.

Пример 1.

Р е ш е н и е. а) Для линейной функции у = 2х - 3 имеем:

Прямая I 1 , служащая графиком линейной функции у - 2х - 3, проведена на рисунке 53 через точки (0; - 3) и (2; 1).
Для линейной функции имеем:

Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

На уроке испрользуются разные методы обучения:

Частично-поисковый;

Проверка по образцу;

Частично-исследовательский;

Частично-проблемный.

Поэтому я думаю многие могут взять мой материал за основу для своего урока.

Просмотр содержимого документа
«Конспект открытого урока алгебра 7 класс по теме "Взаимное расположение графиков линейных функций"»

ПЛАН – КОНСПЕКТ УРОКА

	ФИО (полностью)	Асташова Тамара Александровна
	Место работы	МБОУ Поповская ООШ
	Должность	у читель математики
	Предмет	алгебра
	Класс
	Тема и номер урока в теме	Взаимное расположение графиков линейных функций, урок № 1
	Базовый учебник	Учебник : А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. Алгебра -7 (в 2 частях). М.: Мнемозина, 2013 г.
	ТИП УРОКА:	урок изучения нового материала.
	ЦЕЛЬ:	Рассмотреть различные случаи взаимного расположения графиков линейных функций.
	ЗАДАЧИ: Обучающие:	Создать условия для: Раскрытия геометрического смысла коэффициентов k и m линейной функции; Формирования умений по внешнему виду формул линейных функций устанавливать взаимное расположение их графиков;
	Развивающие:	Создать условия для: Самостоятельного добывания знаний, осмысленного отношения к своей деятельности; Развития мыслительной деятельности обучающихся, умения сравнивать, обобщать и делать выводы;
	Воспитательные:	Создать условия для: Развития грамотной математической речи, умения работать в парах, умения анализировать и делать выводы.

	МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ:	Частично-поисковый; Проверка по образцу; Частично-исследовательский; Частично-проблемный.
	ФОРМА ОРГАНИЗАЦИИ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ:	Фронтальный опрос; Работа в парах; Индивидуальная работа;

СТРУКТУРА УРОКА:

Организационный момент (1 мин).

Актуализация опорных знаний (6 мин)

Формулировка темы. Постановка учебных задач (1 мин)

Изучение нового материала (15 мин)

Физкультминутка (2 мин)

Первичное закрепление (10 мин)

Рефлексия (2 мин)

Домашнее задание (1 мин)

Итог урока (2 мин)

Необходимое техническое оборудование : ноутбук, мультимедийный проектор, компьютеры для учащихся

Структура и ход урока :

Этап урока	Название используемых ЭОР	Деятельность учителя	Деятельность ученика
Орг. момент Цель: Обеспечить рабочую обстановку на уроке.		Приветствует учеников, сообщает девиз урока. Девизом к нашему уроку я хочу предложить такие слова «Каждое дело творчески, иначе зачем?»	Отчет дежурного
Актуализация знаний. Цель: Организовать познавательную деятельность учащихся.		Экспресс- опрос : 1. Какую функцию называют линейной? 2. Что является графиком линейной функции? 3. Какое уравнение имеет линейная функция, график которой проходит через начало координат? 4. От чего зависит угол между прямой и положительным направлением оси ОХ? 5. Что является графиком уравнения х=а и y= в?	Ответы на вопросы.
		Распределите данные функции по группам. Оценивает работу учащихся	выполнение самостоятельной работы
Введение в тему. Постановка учебных задач. Цель: Обеспечить целеполагание	Слайд №4 и №5	Задаёт вопрос из курса геометрии: «Прямые на плоскости могут иметь сколько общих точек?» Формулирует тему урока.	Отвечают на вопрос. Записывают тему
Ознакомление с новым материалом. Цель: Создать условия для ознакомления учащихся с новым материалом	Взаимное расположение графиков линейных функций. Слайд с № 6 по №12	И так я вам предлагаю провести исследование графиков линейных функций и сделать выводы о поведении графиков в зависимости от их коэффициентов. Работу делаем самостоятельно, но в парах по вариантам. Вместе с учащимися сделать выводы: Если даны две линейные функции у=к1 +m1 и у=к2+ m2,то графики функций параллельны, если к1=к2. Графики функций пересекаются, если к1 и к2 различны. Графики функций пересекаются в одной точке, если к1 и к2 различны, а m1= m2;	Выполняют самостоятельную. Отвечают на вопрос учителя, делают выводы, после корректировки учителем этих выводов учащиеся записывают их в тетради.
Здоровье-сберегающая пауза.	Слайд №13	После такой работы нужно потянуться и распрямить свой позвоночник. Мы засиделись. Нужно расправить свои плечи и потянуться. Встанем. Выпрямимся. Начинаем нашу разминку. Ось ординат. Раз. Два. Потянулись. Ось абсцисс. Раз. Два. Помахали. Прямая у = kx + m. Раз. Два. Потянуться. Три. Четыре. Потянуться. k – положительное. Наклон вправо. Потянулись. k – отрицательное. Наклон влево. Потянулись. И ещё раз. Закроем глаза, проделаем круговые движения глазами влево, вправо, откроем глаза и быстро поморгаем.	Выполняют упражнения
Первичное осмысление изученного. Цель: Создать условия для первичного осмысления полученных знаний.	Взаимное расположение графиков линейных функций, №14 по №16.	Выполняем задание 3 из практики. Учитель демонстрирует задания: Выполняем № 10.1 стр.27. Учитель демонстрирует задание. Возникает проблема???? пример в Сформулируйте как располагаются графики по вашему мнению. Самостоятельно №10.2	Устно выполняют задание Фронтальный опрос. Ученики формулируют вывод Записывают в тетрадях решение №10.1 . Учащиеся выполняют самостоятельно задание 10.2 из задачника. Учащиеся записывают решение задания в тетради.
Итоги урока		Задает вопросы: 1.В каком случае графики линейных функций пересекаются? 2.В каком случае графики линейных функций параллельны? 3.В каком случае графики линейных функций пересекаются в одной точке? 4.В каком случае графики линейных функций совпадают? Учитель оценивает работу учащихся на уроке.	Отвечают на вопросы
Домашнее задание. Цель: Дать инструкцию по выполнению домашнего задания.		1 уровень - № 10.4,№10.5 2 уровень - № 10.3; №10.6-№10.8 Творческое задание: для интересующихся математикой: «Линейная зависимость в пословицах и поговорках».	Записывают дом задание в дневник

Приложение №1:

Вариант 1

Вариант 2

В одной системе координат постройте графики функций, определите закономерность расположения графиков и сходство в записи формул:

Задание №1

Функция	Коэффициент k ,	Коэффициент m
у = 3х +2
у = 3х - 3

Функция	Коэффициент k ,	Коэффициент m
у = 3х +4
у = -3х - 2

Задание №2

Функция	Коэффициент k ,	Коэффициент m
у = - 3х +2
у = 5х +2

Функция	Коэффициент k ,	Коэффициент m
у = - 3х +2
у = 5х +2

Приложение №2:

Линейные функции	Алгебраическое	Геометрический вывод
	к 1 =к 2 , m 1 ≠ m 2
	к 1 ≠ к 2 , m 1 ≠ m 2
	к 1 ≠ к 2 , m 1 =m 2
	к 1 =к 2 , m 1 =m 2
Линейные функции	Алгебраическое

Цель занятия: На этом занятии вы познакомитесь с различными случаями взаимного расположения графиков линейных функций и научитесь их распознавать.

Как могут располагаться графики линейных функций?

Вы уже знаете, что графиком линейной функции является прямая.

Каково может быть расположение двух прямых на плоскости?

Они могут пересекаться, то есть иметь единственную общую точку.
Они могут быть параллельны, то есть не иметь общих точек.
Они могут совпадать, то есть иметь бесконечно много общих точек.

Определим условия для каждого из этих случае.

Начнем с последнего случая: графики двух линейных функций совпадают. Очевидно, что в том случае, когда линейная функция задана уравнением y = kx + b , очевидным условием совпадения графиков этих функций будет совпадение коэффициентов k и b .

Понятно, что если уравнения обеих функций записаны в таком виде, установить совпадение их графиков легко. Однако в том случае, когда одна из функций или каждая функция записаны по-другому, необходимо преобразовать выражения.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Даны три функции:

(1) y = 2x + 3 – 5(x + 2)
(2) y = 3x 2 – 3(x + 2)(x – 3) – 25
(3) y = 2x 2 + 3x – 2x (x + 2)

Выясните, графики каких из них совпадают.

Решение:

1. Для начала выясним области определения каждой функции.

Так как ни одна из функций не включает дробей со знаменателями, содержащими переменную, областью определения каждой из них является любое число.

2. Преобразуем каждую из функций.

(1) y = 2x + 3 – 5(x + 2) = 2x + 3 – 5x – 10 = –3x –7
(2) y = 3x 2 – 3(x – 2)(x + 3) – 25 = 3x 2 – 3(x 2 – 2x + 3x – 6) = 3x 2 – 3x 2 – 3x + 18 – 25 = –3x –7
(3) y = 2x 2 + 3x – 2x (x + 2) = 2x 2 + 3x – 2x 2 – 4x = –x

В результате преобразований мы получили, что выражения для первой и второй функций совпадают. Это значит, что и графики функций (1) и (2) совпадают.

Теперь рассмотрим ситуацию параллельности графиков линейных функций.

Для этого рассмотрим пример.

Пример 2.

Выяснить взаимное расположение графиков линейных функций y = –2x + 3 и y = –2x – 1.

Найдем несколько пар точек, принадлежащих графикам этих функций, для соответствующих значений аргумента и занесем эти точки в таблицу:

x	–2	–1	0	1	2	3
y = –2x + 1	7	5	3	1	–1	–3
y = –2x – 2	3	1	–1	–3	–5	–7

Видно, что в каждой точке значение функции y = –2x – 1 на 4 единицы меньше, чем значение функции y = –2x + 3. Это значит, что каждой точке графика функции y = –2x + 3 с координатами (x 0 ; y 0 ) соответствует точка с координатами (x 0 ; y 0 – 4) графика функции y = –2x – 1, то есть вся прямая сдвигается вниз на 4 единицы. Таким образом, графиком функции y = –2x – 1 является прямая, параллельная графику функции y = –2x + 3 (см. рис.1.).

Рис. 1. Графики функций y = –2x – 1 (красный) и y = –2x + 3 (синий)

Таким образом, условием параллельности графиков функций:

y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2 является: k 1 = k 2 и b 1 ≠ b 2 .

Для того чтобы более подробно изучить вопрос с параллельностью прямых, поработайте с материалами видеоуроков.

«Уравнение параллельной прямой»

«Параллельные прямые».

В тех случаях, когда k 1 ≠ k 2 графики линейных функций y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2 не параллельны и не совпадают. Они пересекаются в единственной точке.

Теперь поработайте с материалами электронных образовательных ресурсов (ЭОР) « » (теоретический материал) и « » (практические задания).

Рассмотрим частный случай пересечения графиков линейных функций – их перпендикулярность – и выясним, какое условие должно выполняться для того, чтобы графики функций y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2 были перпендикулярны.

Условием перпендикулярности прямых будет выполнение условия: k 1 ∙ k 2 = –1 , то есть угловые коэффициенты прямых должны быть обратными по модулю числами с противоположными знаками.

Заметим, что с доказательством этого факта вы познакомитесь позже, в 9 классе.

Рассмотрите примеры решения задач, связанные с перпендикулярностью прямых, поработав в материалами видеоуроков.

«Перпендикулярные прямые».

«Перпендикулярные прямые 2».

Решение задач

Прежде чем переходить к решению задач, изучите материалы видеоуроков.

«Параллельные прямые 2».

«Параллельные прямые 3».

Пример 1.

Найдите координаты общих точек графиков функций.

а) y = 2x – 3(x + 2) и y = 5x + 6

Решение:

Выясним, как расположены графики функций. Для этого преобразуем первую функцию:

y = 2x – 3(x + 2) = 2x – 3x – 6 = –x – 6

Имеем функции y = –x – 6 и y = 5x + 6. Так как угловые коэффициенты этих функций не являются равными числами, то графики функций пересекаются в единственной точке (x 0 ; y 0 ).

Для того чтобы найти общую точку, нужно найти такую пару чисел (x 0 ; y 0 ), при подстановке которых и в первое, и во второе уравнение получатся верные числовые равенства. Или, рассуждая по-другому, ординаты графиков должны получиться одинаковые при равных значениях абсциссы.

То есть нужно решить уравнение: –x 0 – 6 = 5x 0 + 6, а затем найденное значение подставить в одно из уравнений для того чтобы найти значение ординаты.

Решая уравнение, получаем: –12 = 6x 0 или –2 = x 0 тогда y 0 = –4. Таким образом, координаты точки пересечения графиков функций y = –x – 6 и y = 5x + 6 является точка (–2; –4).

Графическая иллюстрация изображена на рисунке 2.

Рис. 2. Графики функций y = –x – 6 (красный) и y = 5x + 6 (синий)

б) y = –2x + 3(x – 4) + 8 и y = 5x – 4(x – 1)

Решение:

Преобразуем данные функции:

y = –2x + 3(x – 4) + 8 = –2x + 3x – 12 + 8 = x – 4
y = 5x – 4(x – 1) = 5x – 4x + 4 = x + 4

Так как угловые коэффициенты данных функций совпадают, а свободные коэффициенты различны, то графики функций будут параллельны, то есть графики общих точек не имеют.

Графическая иллюстрация изображена на рисунке 3.

Рис. 3. Графики функций y = x + 4 (красный) и y = x – 4 (синий)

в) y = –2x – 3(x – 1) и y = –5x + 3

Решение:

Преобразуем первую функцию:

y = –2x – 3(x – 1) = –2x – 3x + 3 = –5x + 3

В данном случае уравнения функций одинаковые, значит, графики функций совпадают. Поэтому эти графики имеют бесконечно много общих точек.

Пример 2.

Докажите, что график функции (1) y = 6x + 3(1 – 3x ) всегда расположен выше графика функции (2) y = –x – 2(x + 2).

Решение:

Преобразуем данные функции.

§ 1 Взаимное расположение графиков линейных функций

Из курса геометрии мы знаем, что 2 прямые на плоскости могут совпадать, т.е. иметь бесконечно много общих точек; пересекаться, т.е. иметь одну общую точку или не пересекаться, т. е. не иметь ни одной общей точки. Такие прямые называются параллельными.

Линейная функция задаётся равенством вида у = kх + m. Коэффициент k называют угловым коэффициентом. Он «отвечает» за угол наклона прямой относительно положительного направления оси х. Если k > 0, то угол наклона острый (как на рисунке 1), если k < 0, то угол наклона тупой (как на рисунке 2).

А теперь посмотрим на рисунок 3. На нём изображены 2 прямые, заданные уравнениями у = k1 + m1 и у = k2 + m2. Предположим, что k1 = k2. Это означает, что углы наклона прямой одинаковы. Это соответственные углы, а значит данные нам прямые параллельны по признаку параллельных прямых.

Таким образом, если 2 линейные функции имеют одинаковый угловой коэффициент, то их графики будут параллельны. Если же угловые коэффициенты не равны, то графики будут пересекаться.

Например, даны линейные функции, заданные формулами у = 2х - 1 и у = 2х + 3. Как будут располагаться на плоскости их графики по отношению друг к другу? Так как угловой коэффициент первой функции k1 = 2 и угловой коэффициент второй функции k2 = 2, то графики будут параллельны.

Или другая пара: у = х - 3 и у = 2х + 3. У первой функции коэффициент k1 = 1, а у второй функции коэффициент k2 = 2. Это неравные коэффициенты, поэтому графики этих функций будут пересекаться. А в каком же случае прямые будут совпадать?

Для ответа надо сначала ответить на другой вопрос: а за что «отвечает» коэффициент m? Давайте посмотрим на рисунок, на котором изображены графики трёх функций:

у = х, у = х + 3 и у = х - 2.

У всех трёх функций угловой коэффициент k= 1, т. е. графики параллельны. Но обратите внимание: график функции у = х проходит через начало координат, здесь m = 0. График функции у = х + 3 получен сдвигом графика у = х на 3 единицы вверх, как показывает коэффициент m = 3.

График функции у = х - 2 получен сдвигом графика у = х на 2 единицы вниз, как показывает коэффициент m = -2. Иначе говоря, коэффициент m отвечает за параллельный перенос графика у = kх относительно начала координат на m единиц вдоль оси у.

Теперь можно ответить на поставленный вопрос. 2 прямые будут совпадать, если у них одинаковые угловые коэффициенты и коэффициент m1равен коэффициенту m2.

§ 2 Краткие итоги по теме урока

Графики линейных функций по отношению друг к другу на плоскости могут быть параллельны, если угловые коэффициенты k1 и k2 равны, а коэффициенты m1 и m2 различны. Могут пересекаться в случае, когда угловые коэффициенты k1 и k2 не равны. А также могут совпадать, если угловые коэффициенты k1 и k2 равны и коэффициенты m1 и m2 так же равны. График функции у = kх проходит через начало координат, т. к. коэффициент m = 0, а график функции у = kх + m проходит через точку (0; m).

Список использованной литературы:

Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008
Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010

Расположение графика функции У равно КХ плюс В на координатной плоскости напрямую зависит от значения коэффициентов К и В. Спросим: как зависит расположение графика от коэффициента В. Если Х=0, то У=В. Значит график линейной функции У равно КХ плюс В при любых значениях К и В обязательно проходит через точку с координатами (0; В). От К зависит угол, который образует прямая У равно КХ плюс В с осью Х.

Например, прямая У равно КХ плюс В при К=1 и наклонена к оси Х под углом сорок пять градусов. Это следует из того, что прямая У=Х совпадает с биссектрисами первого и третьего координатных углов. Если К больше нуля, то угол наклона прямой У равно КХ плюс В к оси Х острый. Если же К меньше нуля, то этот угол тупой. Поэтому коэффициент К называют угловым коэффициентом прямой графика функции У равно КХ плюс В.

Выясним, каково взаимное расположение графиков функций двух линейных функций: У равно К1Х плюс В1 и У равно К2Х плюс В2 на координатной плоскости. Графики этих функций прямые. Они могут пересекаться, то есть -иметь только одну общую точку, или быть параллельными, то есть - не иметь общих точек. Если К1 не равно К2, то прямые пересекаются, так как первая из них параллельна графику прямой пропорциональности У равняется К1Х, а вторая графику прямой пропорциональности У равно К2Х. А этими графиками являются две пересекающиеся прямые. Если К1 равно К2, то прямые параллельные, так как каждая из них параллельная графику прямой пропорциональности У равно КХ, где К равно К1и равно К2.

Заметим, что случаи, когда К1 равно К2 и В1 равно В2 мы не рассматриваем, так как речь идет о графиках двух различных функций. А при этом условии прямые У равно К1Х плюс В1 и У равно К2Х плюс В2 совпадают.

Итак, для любых двух линейных функций справедливо утверждение «Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками линейных функций, различны, то прямые пересекаются, если же угловые коэффициенты прямых одинаковы, то прямые параллельны.» На рисунку мы видим графики различных линейных функций с угловыми коэффициентами и одинаковым значением В, равным двум. Эти графики пересекаются в точке с координатами ноль и два. На следующем рисунке изображены графики линейных функций с одинаковыми угловыми коэффициентами и различными значениями В. Эти прямые параллельны друг другу.

Пример один. Найдем координаты точек пересечения графиков функций: У равно минус 3Х плюс 1 и У равно Х минус 3. Будем рассуждать так: пусть точка М с координатами Х нулевое У нулевое - искомая точка пересечения графиков данных функций. Тогда ее координаты удовлетворяют как первое, так и второе уравнению. Значит, У нулевое равное минус 3Х нулевое плюс 1 и У нулевое равное Х нулевое минус 3 - это верные числовые равенства.

Отсюда получаем, что минус 3Х нулевое плюс 1 равно Х нулевое минус 3. Тогда минус 4Х нулевое равно минус 4, и Х нулевое тогда равно 1.

Подставим значение Х нулевое равно 1 в равенство У нулевое равно минус 3Х нулевое плюс 1 или в равенство У нулевое равно Х нулевое минус 3, получим У нулевое равно минус 2. Таким образом, точка пересечения графиков функций имеет такие координаты: Х нулевое равно 1, а У нулевое равно минус 2. Заметим, что часто неизвестные координаты не обозначают другими символами. В этом случае решение выглядит так: минус 3Х плюс 1 равно Х минус 3; минус 4Х равно минус 4, а Х равно 1. У равно 1 минус 3 и равно минус 2. (Или У равно минус 3 умножить на 1 плюс 1 равно минус 2.) Ответ: точка с координатами 1 и минус 2.

Линейная функция часто используется в статистике. Рассмотрим пример. Автомобиль проехал за 10 часов расстояние, равное 800 километров. Каждый час фиксировалось расстояние от пункта отправления до автомобиля. После этого полученные достаточно разбросанные данные отмечали в координатной плоскости. Отмеченные точки не лежат на одной прямой, поскольку на разных участках дороги автомобиль ехал с разной скоростью.

Однако все полученные точки группируются около так называемой аппроксимирующей прямой. Чтобы ее построить, нужно приложить к чертежу линейку и провести наиболее подходящую прямую, содержащую вблизи себя все отмеченные точки. Проведенная прямая позволяет прогнозировать, где может оказаться автомобиль через 11, 12 и так далее часов после начала своего движения. Заметим, что в статистике существуют специальные методы расчетов аппроксимирующих прямых, но и рассмотренный метод дает вполне разумное приближение.

Статьи по теме