Введение вспомогательного угла примеры. Метод введения вспомогательного угла

Тема урока: Метод введения вспомогательного угла при решении тригонометрических уравнений.

Актуализация.

Учитель.

Ребята! Мы познакомились с различными видами тригонометрических уравнений и научились их решать. Сегодня обобщим знания методов решения тригонометрических уравнений различных видов. Для этого я прошу провести работу по классификации предложенных вам уравнений (см. уравнения №№ 1-10 в Приложении — в конце конспекта в PDF виде)

Заполните таблицу: укажите вид уравнения, метод его решения и сопоставьте номера уравнений виду, к которому они принадлежат.

Ученики. Заполняют таблицу.

Вид уравнения	Метод решения	Уравнения
Простейшие	Формулы корней	№1
Приводимые к квадратным	Метод замены переменной	№2,3
Сложный тригонометрический вид	Упростить до известного вида с помощью формул тригонометрии	№4,5
Однородные первой степени	Разделить уравнение почленно на косинус переменной	№6
Однородные второй степени	Разделить уравнение почленно на квадрат косинуса переменной	№7

Проблематизация.

Заполняя таблицу, учащиеся сталкиваются с проблемой. Они не могут определить вид и метод решения трех уравнений: №8,9,10.

Учитель. Все ли уравнения вам удалось классифицировать по форме и методу решения?

Ответ учащихся. Нет, три уравнения не удалось поместить в таблицу.

Учитель. Почему?

Ответ учащихся. Они не похожи на известные виды. Метод решения неясен.

Целеполагание.

Учитель. Как же тогда мы сформулируем цель нашего занятия?

Ответ учащиеся . Определить обнаруженный новый тип уравнений и найти метод их решения.

Учитель . Можно ли сформулировать тему занятия, если мы не знаем вида обнаруженных уравнений и метода их решения?

Ответ учащихся . Нет, но можно это сделать позже, когда разберемся, с чем имеем дело.

Планирование деятельности.

Учитель. Давайте спланируем нашу деятельность. Обычно мы определяем тип, а затем ищем метод решения тригонометрических уравнений. В нашей сегодняшней ситуации возможно ли дать определенное название виду обнаруженных уравнений? И вообще, принадлежат ли они одному виду?

Ответ учащихся. Это трудно сделать.

Учитель. Тогда подумайте, может что-то их объединяет, или они похожи на какой-то тип?

Ответ учащихся. Левая часть этих уравнений такая же, как у однородных, но правая их часть не равна нулю. А значит, деление на косинус только усложнит решение.

Учитель. Может быть, начнем с поиска метода решения, а затем определим типаж уравнения? Какое уравнение из 3-х кажется вам наиболее простым?

Учащиеся отвечают , но единства мнений нет. Возможно, кто-то догадается, что коэффициенты в уравнении №8 следует выразить как синус и косинус табличного угла. И тогда класс определит уравнение, которое можно решить первым. Если нет, то учитель предлагает рассмотреть дополнительное уравнение (см. уравнение № 11 в Приложении — в конце конспекта в PDF виде) . В нем коэффициенты равны синусу и косинусу известного угла и ученики должны это заметить.

Учитель предлагает очередность пунктов деятельности. (Cм. уравнения в Приложении — в PDF виде, в конце конспекта).

Решить первое уравнение (№11), заменив коэффициенты значениями синуса и косинуса известного угла и применив формулу синуса суммы.
Попытаться преобразовать другие уравнения к виду первого и применить тот же метод. (см. уравнение № 8,9, 12 )
Обобщить и распространить метод на любые коэффициенты и сконструировать общий алгоритм действий (см. уравнение №10).
Применить метод к решению других уравнений того же типа. (см. уравнения №№ 12,13, 14).

Реализация плана.

Учитель . Ну что ж, план мы составили. Приступим к его реализации.

У доски ученик решает уравнение № 11.

Второй ученик решает следующее уравнение №8, предварительно поделив его на постоянное число и, тем самым, сведя ситуацию к уже найденному способу решения.

Учитель предлагает решить уравнения № 9,12 самостоятельно. Проверяет правильность преобразований и множество решений.

Учитель. Ребята, как можно назвать угол, который появляется вместо коэффициентов уравнения и помогает нам выйти на решение?

Ответ учащихся. Дополнительный. (Вариант: вспомогательный).

Учитель. Не всегда легко подобрать такой вспомогательный угол. Можно ли его найти, если коэффициенты не есть синус и косинус известных углов? Какому тождеству должны удовлетворять такие коэффициенты, если мы хотим их представить как синус и косинус вспомогательного угла?

Ответ. Основному тригонометрическому тождеству.

Учитель. Молодец! Правильно! Значит перед нами задача — получить такие коэффициенты, чтобы сумма их квадратов была равна единице! Постарайтесь придумать число, на которое нужно поделить уравнение так, чтобы выполнялось указанное нами условие.

Ученики думают и, возможно, предложат поделить все на корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов уравнения. Если нет, то учитель подводит их к этой мысли.

Учитель. Нам остается выбрать, какой из новых коэффициентов обозначить синусом вспомогательного угла, а какой – косинусом. Возможны два варианта. От выбора зависит переход к простейшему уравнению с синусом, либо косинусом.

Ученики предлагают вариант решения, и учитель его завершает, обращая внимание на форму записи рассуждений и ответа. Решают уравнение № 10.

Учитель . Мы открыли для себя метод решения нового типа уравнений? Как назовем этот тип?

Ответ. Мы работали методом поиска вспомогательного угла. Может быть уравнения нужно назвать уравнениями, которые решаются с помощью вспомогательных углов?

Учитель. Конечно можно. А можно придумать формулу их вида? Это будет короче.

Ответ. Да. Уравнения с коэффициентами А, В и С.

Учитель. Давайте обобщим метод для произвольных коэффициентов.

Учитель обсуждает и записывает на доске формулы синуса и косинуса вспомогательного угла для обобщенных коэффициентов. Затем с их помощью решает уравнения №13 и 14.

Учитель. Достаточно ли хорошо мы овладели методом?

Ответ. Нет. Нужно прорешать подобные уравнения и закрепить умение пользоваться методом вспомогательного угла.

Учитель. Как мы поймем, что метод усвоили?

Ответ. Если самостоятельно решим несколько уравнений.

Учитель. Давайте установим качественную шкалу усвоения метода.

Познакомьтесь с характеристиками уровней и расположите их на шкале, отражающей уровень владения этим умением. Соотнесите характеристику уровня и балл (от 0 до 3)

Умею решать уравнения с различными коэффициентами
Не умею решать уравнения
Умею решать уравнения повышенной сложности
Умею решать уравнения с табличными коэффициентами

Учитель. (После ответа учеников) Итак, наша шкала оценок такова:

По такому же принципу оценим самостоятельную работу по теме на следующем уроке.

А сейчас, решите, пожалуйста, уравнения № 1148 г, 1149 г, 1150 г и определите свой уровень усвоения темы.

Не забудьте завершить записи в таблице и назвать тему: «Введение вспомогательного угла при решении тригонометрических уравнений».

Рефлексия способа достижения цели.

Учитель. Ребята, достигли ли мы поставленной цели занятия?

Ответы учащихся . Да, мы научились распознавать новый тип уравнений.

Нашли метод их решения с использованием вспомогательного угла.

Научились применять метод на практике.

Учитель. А как мы действовали? Как пришли к пониманию того, что нам нужно делать?

Ответ. Мы рассмотрели несколько частных случаев уравнений с «узнаваемыми» коэффициентами и эту логику распространили на любые значения А, В и С.

Учитель. Это индуктивный путь размышления: мы на основе нескольких случаев вывели способ и применили его в аналогичных случаях.

Перспектива. Где мы можем применить подобный путь размышления? (ответы учеников)

Вы хорошо поработали сегодня на уроке. Дома ознакомьтесь с описанием метода вспомогательного угла в учебнике и решите №№ 1148 (а, б, в), 1149 (а, б, в), 1150 (а, б, в). Я надеюсь, что на следующем уроке вы все прекрасно будете использовать этот метод при решении тригонометрических уравнений.

Спасибо за работу на уроке!

Формула дополнительного (вспомогательного) аргумента

Рассмотрим выражение вида

в котором числа и не равны нулю одновременно. Домножим и поделим каждое из слагаемых на и вынесем общий множитель за скобки:

Нетрудно проверить, что

а значит по Теореме 2 существует такой вещественный угол, что

Таким образом, используя формулу синуса суммы, получаем

где такой угол, что и, носит название формулы вспомогательного аргумента и используется при решении неоднородных линейных уравнений и неравенств.

Обратные тригонометрические функции

Определения

До сих пор мы решали задачу определения тригонометрических функций заданных углов. А что если стоит обратная задача: зная какую-либо тригонометрическую функцию определить соответствующий ей угол.

Арксинус

Рассмотрим выражение, где - известное вещественное число. По определению синуса это есть ордината точки пересечения луча, образующего угол с осью абсцисс и тригонометрической окружности. Таким образом, для решения уравнения надо найти точки пересечения прямой и тригонометрической окружности.

Очевидно, что при прямая и окружность не имеют общих точек, а значит и уравнение не имеет решений. То есть нельзя найти угол, синус которого был бы по модулю больше 1.

При прямая и окружность имеют точки пересечения, например, и (см. рис.). Таким образом, заданный синус будут иметь, и все углы, отличающиеся от них на целое количество полных оборотов, т.е. , - бесконечное множество углов. Как выбрать один угол среди этого бесконечного множества?

Чтобы однозначно определить угол, соответствующий числу, приходится требовать выполнения дополнительного условия: этот угол должен принадлежать отрезку. Такой угол называют арксинусом числа. угол тригонометрическая функция тождество

Арксинусом действительного числа называется действительное число, синус которого равен. Такое число обозначают.

Арккосинус

Рассмотрим теперь уравнение вида. Для его решения необходимо найти на тригонометрической окружности все точки, имеющие абсциссу, т.е. точки пересечения с прямой. Как и в предыдущем случае при рассматриваемое уравнение не имеет решений. А если, имеются точки пересечения прямой и окружности, соответствующие бесконечному множеству углов, .

Чтобы однозначно определить угол, соответствующий данному косинусу, вводят дополнительное условие: этот угол должен принадлежать отрезку; такой угол называют арккосинусом числа.

Арккосинусом действительного числа называется действительное число, косинус которого равен. Такое число обозначают.

Арктангенс и арккотангенс

Рассмотрим выражение. Для его решения надо найти на окружности все точки пересечения с прямой, угловой коэффициент которой равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс. Такая прямая при всех действительных значениях пересекает тригонометрическую окружность в двух точках. Эти точки симметричны относительно начала координат и соответствуют углам, .

Для однозначного определения угла с заданным тангенсом его выбирают из интервала.

Арктангенсом произвольного действительного числа называется действительное число, тангенс которого равен. Такое число обозначают.

Для определения арккотангенса угла используются аналогичные рассуждения, с той лишь разницей, что рассматривается пересечение окружности с прямой и угол выбирается из интервала.

Арккотангенсом произвольного действительного числа называется действительное число, котангенс которого равен. Такое число обозначают.

Свойства обратных тригонометрических функций

Область определения и область значения

Четность/нечетность

Преобразование обратных тригонометрических функций

Для преобразования выражений, содержащих обратные тригонометрические функции, часто используются свойства, следующие из определения этих функций:

Для любого действительного числа выполняется

и наоборот:

Аналогично для любого действительного числа выполняется

и наоборот:

Графики тригонометрических и обратных тригонометрических функций

Графики тригонометрических функций

Начнем с построения графика функции на отрезке. Для этого воспользуемся определением синуса на тригонометрической окружности. Разделим тригонометрическую окружность на (в данном случае 16) равных частей и разместим рядом систему координат, где отрезок на оси также разделен на равных частей. Проводя прямые линии параллельно оси через точки деления окружности, мы на пересечении этих прямых с перпендикулярами, восстановленными из соответствующих точек деления на оси, получаем точки, координаты которых по определению равны синусам соответствующих углов. Проводя через эти точки плавную кривую, получим график функции для. Для получения графика функции на всей числовой прямой используют периодичность синуса: , .

Для получения графика функции воспользуемся формулой приведения. Таким образом, график функции получается из графика функции путем параллельного переноса влево на отрезок длиной.

Использование графиков тригонометрических функций дает еще один простой способ получения формул приведения. Рассмотрим несколько примеров.

Упростим выражение. На оси обозначим угол и обозначим его синус и косинус за и соответственно. Найдем на оси угол и восстановим перпендикуляр до пересечения с графиком синуса. Из рисунка очевидно, что.

Задание: упростить выражение.

Перейдем к построению графика функции. Сначала вспомним, что для угла тангенсом является длина отрезка АВ . По аналогии с построением графика синуса, разбивая правую полуокружность на равные части и откладывая получившиеся значения тангенсов получаем график, изображенный на рисунке. Для остальных значений график получается с использованием свойства периодичности тангенса, .

Пунктирными линиями на графике изображены асимптоты. Асимптотой кривой называется прямая, к которой кривая приближается сколь угодно близко при удалении в бесконечность, но не пересекает ее.

Для тангенса асимптотами являются прямые, появление которых связано с обращением в этих точках в ноль.

С использованием аналогичных рассуждений получается график функции. Для него асимптотами являются прямые, . Этот график можно получить и воспользовавшись формулой приведения, т.е. преобразованием симметрии относительно оси и сдвигом на вправо.

Свойства тригонометрических функций

Графики обратных тригонометрических функций

Сначала введем понятие обратной функции.

Если функция монотонно возрастает или убывает, то для нее существует обратная функция . Для построения графика обратной функции график следует подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой. На рисунки приведен пример получения графика обратной функции.

Поскольку функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс являются обратными к функция синус, косинус, тангенс и котангенс соответственно, их графики получаются описанным выше преобразованием. Графики исходных функций на рисунках закрашены.

Из приведенных выше рисунков очевидно одно из основных свойств обратных тригонометрических функций: сумма ко-функций одного и того же числа дает.

Лемма . Если сумма квадратов двух действительных чисел равна единице, то одно из этих чисел можно рассматривать как косинус, а другое как синус некоторого угла.

Другими словами, если а 2 + b 2 = 1 , то существует угол φ , такой, что

а = cos φ; b = sin φ.

Прежде чем доказывать эту лемму, поясним ее на следующем примере:

$$ (\frac{\sqrt3}{2})^2 + (\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1 $$

Поэтому существует угол φ , такой, что $\frac{\sqrt3}{2} $ = cos φ ; 1 / 2 = sin φ .

В качестве φ в данном случае можно выбрать любой из углов 30°, 30° ± 360°, 30° ± 2 360° и т. д.

Доказательство леммы:

Рассмотрим вектор $\vec{0А}$ с координатами (а, b ). Поскольку а 2 + b 2 = 1 , длина этого вектора равна 1. Но в таком случае его координаты должны быть равны cos φ и sin φ , где φ - угол, который образует данный вектор с осью абсцисс.

Итак, а = cos φ; b =sin φ , что и требовалось доказать.

Доказанная лемма позволяет преобразовать выражение a sin х + b cos х к более удобному для изучения виду.

Прежде всего вынесем за скобки выражение $\sqrt{a^2 + b^2}$

$$ a sinx + b cosx = \sqrt{a^2 + b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}sinx + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}cosx) $$

Поскольку

$$ (\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}})^2 + (\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}})^2 = 1 $$

первое из чисел $\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} $ и $\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} $ можно рассматривать как косинус некоторого угла φ , а второе - как синус того же угла φ :

$$ \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} = cos\phi, \;\; \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} = sin\phi $$

Но в таком случае

a sin х + b cos х = $\sqrt{a^2 + b^2}$(cos φ sin х + sin φ cos х) = $\sqrt{a^2 + b^2}$ sin (x + φ)

a sin х + b cos х = $\sqrt{a^2 + b^2}$ sin (x + φ) , где угол φ определяется из условий

$$ sin\phi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \;\; cos\phi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} $$

Примеры.

1) $sin x + cos x = \sqrt2 (\frac{1}{\sqrt2} sin x + \frac{1}{\sqrt2}cos x) = \sqrt2 (cos\frac{\pi}{4}sin x + sin\frac{\pi}{4}cos x) =\\= \sqrt2(sinx + \frac{\pi}{4}) $

Полученную формулу sin x + cos x = $\sqrt2(sinx + \frac{\pi}{4})$ полезно запомнить.

2) Если одно из чисел а и b положительно, а другое отрицательно, то выражение
a sin х + b cos х удобнее преобразовывать не к синусу суммы, а к синусу разности двух углов. Так,

$$ 3sinx - 4cosx = \sqrt{9+16}(\frac{3}{\sqrt{9+16}}sinx - \frac{4}{\sqrt{9+16}}cosx) =\\= 5(sinx\cdot\frac{3}{5} - cosx\cdot\frac{4}{5}) = 5sin(x - \phi), $$

где под φ можно подразумевать любой угол, удовлетворяющий условиям:

cos φ = 3 / 5 , sin φ = 4 / 5

В частности, можно положить φ = arctg 4 / 3 . Тогда получим:

3 sin х - 4 cos x = 5 sin (x - arctg 4 / 3).

Элементарные тригонометрические уравнения --- это уравнения вида, где --- одна из тригонометрических функций: , .

Элементарные тригонометрические уравнения имеют бесконечно много корней. Например, уравнению удовлетворяют следующие значения: , и т. д. Общая формула по которой находятся все корни уравнения, где, такова:

Здесь может принимать любые целые значения, каждому из них соответствует определенный корень уравнения; в этой формуле (равно как и в других формулах, по которым решаются элементарные тригонометрические уравнения) называют параметром . Записывают обычно, подчеркивая тем самым, что параметр принимать любые целые значения.

Решения уравнения, где, находятся по формуле

Уравнение решается применяя формулу

а уравнение --- по формуле

Особо отметим некоторые частные случаи элементраных тригонометрических уравнений, когда решение может быть записано без применения общих формул:

При решении тригонометрических уравнений важную роль играет период тригонометрических функций. Поэтому приведем две полезные теоремы:

Теорема Если --- основной период функции, то число является основным периодом функции.

Периоды функций и называются соизмеримыми, если существуют натуральные числа и, что.

Теорема Если периодические функции и, имеют соизмеримые и, то они имеют общий период, который является периодом функций, .

В теореме говорится о том, что является периодом функции, и не обязательно является основным периодом. Например, основной период функций и --- , а основной период их произведения --- .

Введение вспомогательного аргумента

Стандартным путем преобразования выражений вида является следующий прием: пусть --- угол, задаваемый равенствами, . Для любых и такой угол существует. Таким образом. Если, или, в других случаях.

Схема решения тригонометрических уравнений

Основная схема, которой мы будем руководствоваться при решении тригонометрических уравнений следующая:

решение заданного уравнения сводится к решению элементарных уравнений. Средства решения --- преобразования, разложения на множители, замена неизвестных. Ведущий принцип --- не терять корней. Это означает, что при переходе к следующему уравнению (уравнениям) мы не опасаемся появления лишних (посторонних) корней, а заботимся лишь о том, чтобы каждое последующее уравнение нашей "цепочки" (или совокупность уравнений в случае ветвления) являлось следствием предыдущего. Одним из возможных методов отбора корней является проверка. Сразу заметим, что в случае тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, с проверкой, как правило, резко возрастают по сравнению с алгебраическими уравнениями. Ведь проверять приходится серии, состоящие из бесконечного числа членов.

Особо следует сказать о замене неизвестных при решении тригонометрических уравнений. В большинстве случаев после нужной замены получается алгебраическое уравнение. Более того, не так уж и редки уравнения, которые, хотя и являются тригонометрическими по внешнему виду, по существу таковыми не являются, поскольку уже после первого шага --- замены переменных --- превращаются в алгебраические, а возращение к тригонометрии происходит лишь на этапе решения элементарных тригонометрических уравнений.

Еще раз напомним: замену неизвестного следует делать при первой возможности, получившееся после замены уравнение необходимо решить до конца, включая этап отбора корней, а уж затем возвратится к первоначальному неизвестному.

Одна из особенностей тригонометрических уравнений заключается в том, что ответ во многих случаях может быть записан различными способами. Даже для решения уравнения ответ может быть записан следующим образом:

1) в виде двух серий: , ;

2) в стандартной форме представляющей собой объединение указанных выше серий: , ;

3) поскольку, то ответ можно записать в виде, . (В дальнейшем наличие параметра, или в записи ответа автоматически означает, что этот параметр принимает всевозможные целочисленные значения. Исключения будут оговариваться.)

Очевидно, что тремя перечисленными случаями не исчерпываются все возможности для записи ответа рассматриваемого уравнения (их бесконечно много).

Например, при справедливо равенство. Следовательно, в двух первых случаях, если, мы можем заменить на.

Обычно ответ записывается на основании пункта 2. Полезно запомнить следующую рекомендацию: если на решении уравнения работа не заканчивается, необходимо еще провести исследование, отбор корней, то наиболее удобна форма записи, указанная в пункте 1. (Аналогичную рекомендацию следует дать и для уравнения.)

Рассмотрим пример иллюстрирующий сказанное.

Пример Решить уравнение.

Решение. Наиболее очевидным является следующий путь. Данное уравнение распадается на два: и. Решая каждое из них и объединяя полученные ответы, найдем.

Другой путь. Поскольку, то, заменяя и по формулам понижения степени. После небольших преобразований получим, откуда.

На первый взгляд никаких особых преимуществ у второй формулы по сравнению с первой нет. Однако, если возьмем, например, то окажется, что, т.е. уравнение имеет решение, в то время как первый способ нас приводит к ответу. "Увидеть" и доказать равенство не так просто.