Системы с нелинейными уравнениями. Урок "однородные тригонометрические уравнения"

Скачать:

Предварительный просмотр:

Сбор и использование персональной информации

Раскрытие информации третьим лицам

Защита персональной информации

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Однородное тригонометрическое уравнение первой степени

Первый пример. Решение однородного тригонометрического уравнения первой степени

Однородное тригонометрическое уравнение второй степени

Второй пример. Решение однородного тригонометрического уравнения второй степени

Третий пример. Решение однородного тригонометрического уравнения второй степени

Тренировочные задания

Главная Рак легких

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

В этой статье мы рассмотрим способ решения однородных тригонометрических уравнений.

Однородные тригонометрические уравнения имеют ту же структуру, что и однородные уравнения любого другого вида. Напомню способ решения однородных уравнений второй степени:

Рассмотрим однородные уравнения вида

Отличительные признаки однородных уравнений:

а) все одночлены имеют одинаковую степень,

б) свободный член равен нулю,

в) в уравнении присутствуют степени с двумя различными основаниями.

Однородные уравнения решаются по сходному алгоритму.

Чтобы решить уравнение такого типа, разделим обе части уравнения на (можно разделить на или на )

Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения.

Если является, то мы выписываем этот корень, чтобы потом про него не забыть, а затем делим на это выражение.

Вообще, первым делом, при решении любого уравнения, в правой части которого стоит ноль, нужно попытаться разложить левую часть уравнения на множители любым доступным способом. А затем каждый множитель приравнять к нулю. В этом случае мы точно не потеряем корни.

Итак, осторожно разделим левую часть уравнения на выражение почленно. Получим:

Сократим числитель и знаменатель второй и третьей дроби:

Введем замену:

Получим квадратное уравнение:

Решим квадратное уравнение, найдем значения , а затем вернемся к исходному неизвестному.

При решении однородных тригонометрических уравнений, нужно помнить несколько важных вещей:

1. Свободный член можно преобразовать к квадрату синуса и косинуса с помощью основного тригонометрического тождества:

2. Синус и косинус двойного аргумента являются одночленами второй степени - синус двойного аргумента легко преобразовать к произведению синуса и косинуса, а косинус двойного аргумента - к квадрату синуса или косинуса:

Рассмотрим несколько примеров решения однородных тригонометрических уравнений.

1 . Решим уравнение:

Это классический пример однородного тригонометрического уравнения первой степени: степень каждого одночлена равна единице, свободный член равен нулю.

Прежде чем делить обе части уравнения на , необходимо проверить, что корни уравнения не являются корнями исходного уравнения. Проверяем: если , то title="sin{x}0">, следовательно их сумма не равна нулю.

Разделим обе части уравнения на .

Получим:

, где

Ответ: , где

2 . Решим уравнение:

Это пример однородного тригонометрического уравнения второй степени. Мы помним, что если мы можем разложить левую часть уравнения на множители, то желательно это сделать. В этом уравнении мы можем вынести за скобки . Сделаем это:

Решение первого уравнения: , где

Второе уравнение - однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Чтобы его решить, разделим обе части уравнения на . Получим:

Ответ: , где ,

3 . Решим уравнение:

Чтобы это уравнение "стало" однородным, преобразуем в произведение, и представим число 3 в виде суммы квадратов синуса и косинуса:

Перенесем все слагаемые влево, раскроем скобки и приведем подобные члены. Получим:

Разложим левую часть на множители и приравняем каждый множитель к нулю:

Ответ: , где ,

4 . Решим уравнение:

Мы видим, что можем вынести за скобки . Сделаем это:

Приравняем каждый множитель к нулю:

Решение первого уравнения:

Второе уравнение совокупности представляет собой классическое однородное уравнение второй степени. Корни уравнения не являются корнями исходного уравнения, поэтому разделим обе части уравнения на :

Решение первого уравнения:

Решение второго уравнения.

Последняя деталь, как решать задания С1 из ЕГЭ по математике - решение однородных тригонометрических уравнений. Как их решать мы расскажем в этом завершающем уроке.

Что же представляют из себя эти уравнения? Давайте запишем их в общем виде.

$$a\sin x + b\cos x = 0,$$

где `a` и `b` - некоторые константы. Это уравнение называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени.

Чтобы решить такое уравнение, нужно поделить его на `\cos x`. Тогда оно примет вид

$$\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}} a \tg x + b = 0.$$

Ответ такого уравнения легко записывается через арктангенс.

Обратите внимание, что `\cos x ≠0`. Чтобы убедиться в этом, подставим в уравнение вместо косинуса ноль и получим, что синус тоже должен быть равен нулю. Однако одновременно нулю они равны быть не могут, значит, косинус - не ноль.

Некоторые задания реального экзамена этого года сводились к однородному тригонометрическому уравнению. Перейдите по ссылке, чтобы . Мы же возьмем чуть упрощенный вариант задачи.

$$\sin x + \cos x = 0.$$

Разделим на `\cos x`.

$$\tg x + 1 = 0,$$

$$x = -\frac{\pi}{4}+\pi k.$$

Повторюсь, подобное задание было на ЕГЭ:) конечно, нужно еще выполнить отбор корней, но это тоже не должно вызвать особых трудностей.

Давайте теперь перейдем к следующему типу уравнений.

В общем виде оно выглядит так:

$$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x =0,$$

где `a, b, c` - некоторые константы.

Такие уравнения решаются делением на `\cos^2 x` (который вновь не равен нулю). Давайте сразу разберем пример.

$$\sin^2 x - 2\sin x \, \cos x - 3\cos^2 x = 0.$$

Разделим на `\cos^2 x`.

$${\tg}^2 x - 2\tg x -3 =0.$$

Заменим `t = \tg x`.

$$t^2 - 2t -3 = 0,$$

$$t_1 = 3, \ t_2 = -1.$$

Обратная замена

$$\tg x = 3, \text{ или } \tg x = -1,$$

$$x = \arctan{3}+\pi k, \text{ или } x= -\frac{\pi}{4}+ \pi k.$$

Ответ получен.

$$-\sin^2 x + \frac{2\sqrt{2}}{3}\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2.$$

Все бы ничего, но это уравнение не однородное - нам мешает `-2` в правой части. Что делать? Давайте воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и распишем с его помощью `-2`.

$$-\sin^2 x + \frac{2\sqrt{2}}{3}\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2(\sin^2 x + \cos^2 x),$$

$$-\sin^2 x + \frac{2\sqrt{2}}{3}\sin x \cos x - 3\cos^2 x + 2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 0,$$

$$\sin^2 x + \frac{2\sqrt{2}}{3}\sin x \cos x - \cos^2 x = 0.$$

Разделим на `\cos^2 x`.

$${\tg}^2 x + \frac{2\sqrt{2}}{3} \tg x - 1 = 0,$$

Замена `t= \tg x`.

$$t^2 + \frac{2\sqrt{2}}{3} t - 1 = 0,$$

$$t_1 = \frac{\sqrt{3}}{3},\ t_2 = -\sqrt{3}.$$

Выполнив обратную замену, получим:

$$\tg x = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ или } \tg x = -\sqrt{3}.$$

$$x =-\frac{\pi}{3} + \pi k,\ x = \frac{\pi}{6}+ \pi k.$$

Это последний пример в этом уроке.

Как обычно, напомню: тренировка, это наше все. Каким бы гениальным ни был человек, без тренировки навыки не разовьются. На экзамене это черевато волнением, ошибками, потерей времени (продолжите этот список самостоятельно). Обязательно занимайтесь!

Решите уравнения:

`10^{\sin x} = 2^{\sin x} \cdot 5^{-\cos x}`. Это задание из реального ЕГЭ 2013. Знание свойств степеней никто не отменял, но если забыли, подсмотреть ;
`\sqrt{3} \sin x + \sin^2 \frac{x}{2} = \cos^2 \frac{x}{2}`. Пригодится формула из седьмого урока .
`\sqrt{3} \sin 2x + 3 \cos 2x = 0`.

На этом все. И как обычно напоследок: задаем вопросы в комментариях, ставим лайки, смотрим видео, учимся решать ЕГЭ.

Тема урока: "Однородные тригонометрические уравнения"

(10-й класс)

Цель: ввести понятие однородных тригонометрических уравнений I и II степени; сформулировать и отработать алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений I и II степени; научить учащихся решать однородные тригонометрических уравнений I и II степени; развивать умение выявлять закономерности, обобщать; стимулировать интерес к предмету, развивать чувство солидарности и здорового соперничества.

Тип урока: урок формирования новых знаний.

Форма проведения: работа в группах.

Оборудование: компьютер, мультимедийная установка

Ход урока

Организационный момент

Приветствие учащихся, мобилизация внимания.

На уроке рейтинговая система оценки знаний (учитель поясняет систему оценки знаний, заполнение оценочного листа независимым экспертом, выбранным учителем из числа учащихся). Урок сопровождается презентацией. .

Актуализация опорных знаний.

Домашняя работа проверяется и оценивается независимым экспертом и консультантами до урока и заполняется оценочный лист.

Учитель подводит итог выполнения домашнего задания.

Учитель: Мы продолжаем изучение темы “Тригонометрические уравнения”. Сегодня на уроке мы познакомимся с вами с еще одним видом тригонометрических уравнений и методами их решения и поэтому повторим изученное. Все виды тригонометрических уравнений при решении сводятся к решению простейших тригонометрических уравнений.

Проверяется индивидуальное домашнее задание, выполняемое в группах. Защита презентации “Решения простейших тригонометрических уравнений”

(Оценивается работа группы независимым экспертом)

Мотивация обучения.

Учитель: нам предстоит работа по разгадыванию кроссворда. Разгадав его, мы узнаем название нового вида уравнений, которые научимся решать сегодня на уроке.

Вопросы спроецированы на доску. Учащиеся отгадывают, независимый эксперт заносит в оценочный лист баллы отвечающим учащимся.

Разгадав кроссворд, ребята прочитают слово “однородные”.

Усвоение новых знаний.

Учитель: Тема урока “Однородные тригонометрические уравнения”.

Запишем тему урока в тетрадь. Однородные тригонометрические уравнения бывают первой и второй степени.

Запишем определение однородного уравнения первой степени. Я на примере показываю решение такого вида уравнения, вы составляете алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени.

Уравнение вида а sinx + b cosx = 0 называют однородным тригонометрическим уравнение первой степени.

Рассмотрим решение уравнения, когда коэффициенты а и в отличны от 0.

Пример: sinx + cosx = 0

Разделив обе части уравнения почленно на cosx, получим

Внимание! Делить на 0 можно лишь в том случае, если это выражение нигде не обращается в 0. Анализируем. Если косинус равен 0, то получается и синус будет равен 0, учитывая, что коэффициенты отличны от 0, но мы знаем, что синус и косинус обращаются в нуль в различных точках. Поэтому эту операцию производить можно при решении такого вида уравнения.

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени: деление обеих частей уравнения на cosx, cosx 0

Уравнение вида а sin mx + b cos mx = 0 тоже называют однородным тригонометрическим уравнение первой степени и решат также деление обеих частей уравнения на косинус mх.

Уравнение видаa sin 2 x + b sinx cosx + c cos2x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Пример : sin 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0

Коэффициент а отличен от 0 и поэтому как и предыдущем уравнении соsх не равен0 и поэтому можно воспользоваться способом деления обеих частей уравнения на соs 2 х.

Получим tg 2 x + 2tgx – 3 = 0

Решаем путем введения новой переменной пусть tgx = а, тогда получаем уравнение

а 2 + 2а – 3 = 0

Д = 4 – 4 (–3) = 16

а 1 = 1 а 2 = –3

Возвращаемся к замене

Ответ:

Если коэффициент а = 0, то уравнение примет вид 2sinx cosx – 3cos2x = 0 решаем способом вынесения общего множителя cosx за скобки. Если коэффициент с = 0, то уравнение примет вид sin2x +2sinx cosx = 0 решаем способом вынесения общего множителя sinx за скобки. Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени:

Посмотреть, есть ли в уравнении член asin2 x.

Если член asin2 x в уравнении содержится (т.е. а 0), то уравнение решается делением обеих частей уравнения на cos2x и последующим введение новой переменной.

Если член asin2 x в уравнении не содержится (т.е. а = 0), то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят cosx. Однородные уравнения вида a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 решаются таким же способом

Алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений записан в учебнике на стр. 102.

Физкультминутка

Формирование навыков решения однородных тригонометрических уравнений

Открываем задачники стр. 53

1-я и 2-я группа решают № 361-в

3-я и 4-я группа решают № 363-в

Показывают решение на доске, объясняют, дополняют. Независимый эксперт оценивает.

Решение примеров из задачника № 361-в
sinx – 3cosx = 0
делим обе части уравнения на cosx 0, получаем

№ 363-в
sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0
разделим обе части уравнения на cos2x, получим tg2x + tgx – 2 = 0

решаем путем введения новой переменной
пусть tgx = а, тогда получаем уравнение
а2 + а – 2 = 0
Д = 9
а1 = 1 а2 = –2
возвращаемся к замене

Самостоятельная работа.

Решите уравнения.

2 cosx – 2 = 0

2cos2x – 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0

По окончанию самостоятельной работы меняются работами и взаимопроверка. Правильные ответы проецируются на доску.

Потом сдают независимому эксперту.

Решение самостоятельной работы

Подведение итогов урока.

С каким видом тригонометрических уравнений мы познакомились на уроке?

Алгоритм решения тригонометрических уравнений первой и второй степени.

Задание на дом: § 20.3 читать. № 361(г), 363(б), повышенной трудности дополнительно № 380(а).

Кроссворд.

Если вписать верные слова, то получится название одного из видов тригонометрических уравнений.

Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство? (Корень)

Единица измерения углов? (Радиан)

Числовой множитель в произведении? (Коэффициент)

Раздел математики, изучающий тригонометрические функции? (Тригонометрия)

Какая математическая модель необходима для введения тригонометрических функций? (Окружность)

Какая из тригонометрических функций четная? (Косинус)

Как называется верное равенство? (Тождество)

Равенство с переменной? (Уравнение)

Уравнения, имеющие одинаковые корни? (Равносильные)

Множество корней уравнения? (Решение)

Оценочный лист

№
п\п

Фамилия, имя обучающего

Домашнее задание

Презентация

Познавательная активность
уч-ся

Решение уравнений

Самостоятельная
работа

Домашнее задание – 12 баллов (на дом было задано 3 уравнения 4 х 3 = 12)

Презентация – 1балл

Активность уч-ся – 1ответ – 1 балл (4 балла максимально)

Решение уравнений 1 балл

Самостоятельная работа – 4 балла

Оценка группе:

“5” – 22 балла и более
“4” – 18 – 21 балл
“3” – 12 – 17 баллов

Тип урока: обяснение нового материала. Работа проходит в группах. В каждой группе есть эксперт, который контролирует и направляет работу учащихся. Помогает слабым учащимся поверить в свои силы при решении данных уравнений.

Фамилия имя

Домашнее задание

Познавательная активность

Решение уравнений

Самостоятельная
работа

Урок по теме

" Однородные тригонометрические уравнения"

(10-й класс)

Цель:

ввести понятие однородных тригонометрических уравнений I и II степени;
сформулировать и отработать алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений I и II степени;
научить учащихся решать однородные тригонометрических уравнений I и II степени;
развивать умение выявлять закономерности, обобщать;
стимулировать интерес к предмету, развивать чувство солидарности и здорового соперничества.

Тип урока : урок формирования новых знаний.

Форма проведения : работа в группах.

Оборудование: компьютер, мультимедийная установка

Ход урока

I. Организационный момент

Оценочный лист№

II. Актуализация опорных знаний..

Мы продолжаем изучение темы “Тригонометрические уравнения”. Сегодня на уроке мы познакомимся с вами с еще одним видом тригонометрических уравнений и методами их решения и поэтому повторим изученное. Все виды тригонометрических уравнений при решении сводятся к решению простейших тригонометрических уравнений. Вспомним основные виды простейших тригонометрических уравнений. Поставьте с помощью стрелок соответствии между выражениями.

III. Мотивация обучения.

Нам предстоит работа по разгадыванию кроссворда. Разгадав его, мы узнаем название нового вида уравнений, которые научимся решать сегодня на уроке.

Разгадав кроссворд, ребята прочитают слово “однородные”.

Кроссворд.

Если вписать верные слова, то получится название одного из видов тригонометрических уравнений.

1.Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство? (Корень)

2.Единица измерения углов? (Радиан)

3.Числовой множитель в произведении? (Коэффициент)

4.Раздел математики, изучающий тригонометрические функции? (Тригонометрия)

5.Какая математическая модель необходима для введения тригонометрических функций? (Окружность)

6.Какая из тригонометрических функций четная? (Косинус)

7.Как называется верное равенство? (Тождество)

8.Равенство с переменной? (Уравнение)

9.Уравнения, имеющие одинаковые корни? (Равносильные)

10.Множество корней уравнения? (Решение)

IV. Объяснение нового материала.

Тема урока “Однородные тригонометрические уравнения”. (Презентация)

Примеры:

sin x + cos x = 0
√3cos x + sin x = 0
sin 4x = cos 4x
2sin 2 x + 3 sin x cos x + cos 2 x = 0
4 sin 2 x – 5 sin x cos x – 6 cos 2 x = 0
sin 2 x + 2 sin x cos x – 3cos 2 x + 2 = 0
4sin 2 x – 8 sin x cos x + 10 cos 2 x = 3
1 + 7cos 2 x = 3 sin 2x
sin 2x + 2cos 2x = 1

V. Самостоятельная работа

Задачи: всесторонне проверить знания учащихся при решении всех видов тригонометрических уравнений, стимулировать учащихся к самоанализу, самоконтролю.
Учащимся предлагается выполнить письменную работу на 10 минут.
Учащиеся выполняют на чистых листочках под копировку. По истечении времени собираются вершки самостоятельной работы, а решения под копировку остаются у учащихся.
Проверка самостоятельной работы (3 мин) проводится взаимопроверкой.
. Учащиеся цветной ручкой проверяют письменные работы своего соседа и записывают фамилию проверяющего. Затем сдают листочки.

Потом сдают независимому эксперту.

1 вариант: 1) sin x = √3cos x

2) 3sin 2 x – 7sin x cos x + 2 cos 2 x = 0

3) 3sin x – 2sin x cos x = 1

4) sin 2x⁄sin x =0

2 вариант: 1) cosx + √3sin x = 0

2)2sin 2 x + 3sin x cos x – 2 cos 2 x = 0

3)1 + sin 2 x = 2 sin x cos x

4) cos 2x ⁄ cos x = 0

VI. Подведение итогов урока

VII. Задание на дом:

Домашнее задание – 12 баллов (на дом было задано 3 уравнения 4 х 3 = 12)