Связь тригонометрической функции и медицины. Проект "мир тригонометрии"

Павлов Роман

Связь тригонометрии с окружающим миром, значение тригонометрии в решении многих практических задач, графические возможности тригонометрических функций позволяют «материализовать» знания школьников. Это позволяет лучше понять жизненную необходимость знаний, приобретаемых при изучении тригонометрии, повышает интерес к изучению данной темы.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №10

с углубленным изучением отдельных предметов

Проект выполнил:

Павлов Роман

ученик 10б класса

Руководитель:

учитель математики

Болдырева Н.А

г. Елец, 2012

1.Введение.

3. Мир тригонометрии.

• Тригонометрия в физике.

• Тригонометрия в планиметрии.

3.2 Графические представления о превращении «мало интересных» тригонометрических функций в оригинальные кривые (с помощью компьютерной программы «Функции и графики»).

• Кривые в полярных координатах (Розетки).
• Кривые в декартовых координатах (Кривые Лиссажу).
• Математические орнаменты.

4. Заключение.

5. Список литературы.

Цель проекта - развитие интереса к изучению темы «Тригонометрия» в курсе алгебры и начала анализа через призму прикладного значения изучаемого материала; расширение графических представлений, содержащих тригонометрические функции; применение тригонометрии в таких науках, как физика, биология. Не последнюю роль она играет и в медицине, и, что самое интересное, без нее не обошлось даже в музыке и архитектуре.

Объект исследования - тригонометрия

Предмет исследования - прикладная направленность тригонометрии; графики некоторых функций, с использованием тригонометрических формул.

Задачи исследования:

1.Рассмотреть историю возникновения и развития тригонометрии.

2.Показать на конкретных примерах практические приложения тригонометрии в различных науках..

3.Раскрыть на конкретных примерах возможности использования тригонометрических функций, позволяющие «мало интересные» функции превращать в функции, графики которых имеют весьма оригинальный вид.

Гипотеза- предположения : Связь тригонометрии с окружающим миром, значение тригонометрии в решении многих практических задач, графические возможности тригонометрических функций позволяют «материализовать» знания школьников. Это позволяет лучше понять жизненную необходимость знаний, приобретаемых при изучении тригонометрии, повышает интерес к изучению данной темы.

Методы исследования - анализ математической литературы по данной теме; отбор конкретных задач прикладного характера по данной теме; компьютерное моделирование на основе компьютерной программы. Открытая математика «Функции и графики» (Физикон).

1. Введение

« Одно осталось ясно, что мир устроен

Грозно и прекрасно».

Н.Рубцов

Тригонометрия - это раздел математики, в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон треугольников, а также алгебраические тождества тригонометрических функций. Сложно представить, но с этой наукой мы сталкиваемся не только на уроках математики, но и в нашей повседневной жизни. Вы могли не подозревать об этом, но тригонометрия встречается в таких науках, как физика, биология, не последнюю роль она играет и в медицине, и, что самое интересное, без нее не обошлось даже в музыке и архитектуре. Значительную роль в развитии навыков применения на практике теоретических знаний, полученных при изучении математики, играют задачи с практическим содержанием. Каждого изучающего математику, интересует как и где применяются полученные знания. Ответ на этот вопрос и дает данная работа.

2.История развития тригонометрии.

Слово тригонометрия составилось из двух греческих слов: τρίγονον (тригонон-треугольник) и и μετρειν (метрейн- измерять) в буквальном переводе означает измерение треугольников .

Именно эта задача- измерение треугольников или, как принято теперь говорить, решение треугольников, т.е. определение всех сторон и углов треугольника по трем его известным элементам (стороне и двум углам, двум сторонам и углу или трем сторонам)- с древнейших времен составляла основу практических приложений тригонометрии.

Как и всякая другая наука, тригонометрия выросла из человеческой практики, в процессе решения конкретных практических задач. Первые этапы развития тригонометрии тесно связаны с развитием астрономии. Большое влияние на развитие астрономии и тесно связанной с ней тригонометрии оказали потребности развивающегося мореплавания, для которого требовалось умение правильно определять курс корабля в открытом море по положению небесных светил. Значительную роль в развитии тригонометрии сыграла потребность в составлении географических карт и тесно связанная с этим необходимость правильного определения больших расстояний на земной поверхности.

Основополагающее значение для развития тригонометрии в эпоху ее зарождения имели работы древнегреческого астронома Гиппарха (середина II века до н.э.). Тригонометрия как наука, в современном смысле этого слова не было не только у Гиппарха, но и у других ученых древности, так как они еще не имели понятия о функциях углов и даже не ставили в общем виде вопроса о зависимости между углами и сторонами треугольника. Но по существу они, пользуясь известными им средствами элементарной геометрии, решали те задачи, которыми занимается тригонометрия. При этом основным средством получения нужных результатов было умение вычислять длины круговых хорд на основании известных соотношений между сторонами правильных трех-, четырех-, пяти- и десятиугольника и радиусом описанного круга.

Гиппарх составил первые таблицы хорд, т.е. таблицы, выражающие длину хорды для различных центральных углов в круге постоянного радиуса. Это были, по существу, таблицы двойных синусов половины центрального угла. Впрочем, оригинальные таблицы Гиппарха(как и почти все им написанное) до нас не дошли, и мы можем составить себе о них представление главным образом по сочинению « Великое построение» или (в арабском переводе) « Альмагест» знаменитого астронома Клавдия Птолемея , жившего в середине II века н.э.

Птолемей делил окружность на 360 градусов, а диаметр- на 120 частей. Он считал радиус равным 60 частям(60  ). Каждую из частей он делил на 60  , каждую минуту на 60  ,секунду на 60 терций (60  ) и т.д., применяя указанное деление, Птолемей выражал сторону правильного вписанного шестиугольника или хорду, стягивающую дугу в 60  в виде 60 частей радиуса(60 ч ), а сторону вписанного квадрата или хорду в 90  приравнивал числу 84 ч 51  10  .Хорду в 120  - сторону вписанного равностороннего треугольника- он выражал числом 103 ч 55  23  и т.д. Для прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной диаметру круга, он записывал на основании теоремы Пифагора: (хорда  ) 2 +(хорда  180-  ) 2 =(диаметру) 2 , что соответствует современной формуле sin 2  +cos 2  =1.

«Альмагест» содержит таблицу хорд через полградуса от 0  до 180  , которая с нашей современной точки зрения представляет таблицу синусов для углов от 0  до 90  через каждые четверть градуса.

В основе всех тригонометрических вычислений у греков лежала известная еще Гиппарху теорема Птолемея : «прямоугольник, построенный на диагоналях вписанного в круг четырехугольника, равен сумме прямоугольников, построенных на противолежащих сторонах» (т.е. произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон). Пользуясь этой теоремой, греки умели (с помощью теоремы Пифагора) по хордам двух углов вычислить хорду суммы (или хорду разности) этих углов или хорду половины данного угла, т.е. умели получать результаты, которые мы получаем теперь по формулам синуса суммы(или разности) двух углов или половины угла.

Новые шаги в развитии тригонометрии связаны с развитием математической культуры народов Индии, Средней Азии и Европы (V-XII) .

Важный шаг вперед в период с V по XII век был сделан индусами, которые в отличие от греков стали рассматривать и употреблять в вычислениях уже не целую хорду ММ  (см. чертеж) соответствующего центрального угла, а только ее половину МР, т. е. то, что мы теперь называем линией синуса  - половины центрального угла.

Наряду с синусом индусы ввели в тригонометрию косинус, точнее говоря, стали употреблять в своих вычислениях линию косинуса. (Сам термин косинус появился значительно позднее в работах европейских ученых впервые в конце XVI в.из так называемого « синуса дополнения», т.е. синуса угла, дополняющего данный угол до 90  . «Синус дополнения» или (по латыни) sinus complementi стали сокращенно записывать как sinus co или co-sinus).

Им были известны также соотношения cos  =sin(90  -  ) и sin 2  +cos 2  =r 2 , а также формулы для синуса суммы и разности двух углов.

Следующий этап в развитии тригонометрии связан со странами

Средней Азии, Ближнего Востока, Закавказья(VII-XV в.)

Развиваясь в тесной связи с астрономией и географией,- среднеазиатская математика имела ярко выраженный « вычислительный характер» и была направлена на разрешение прикладных задач измерительной геометрии и тригонометрии, причем тригонометрия сформировалась в особую математическую дисциплину в значительной мере именно в трудах среднеазиатских ученых. Из числа сделанных ими важнейших успехов следует в первую очередь отметить введение всех шести тригонометрических линий: синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса, из которых лишь первые две были известны грекам и индусам.

Решая задачу об определении высоты Солнца S по тени b вертикально стоящего шеста a (см чертеж), сирийский астроном ал-Баттани (Хв.)пришел к выводу, что острый угол  в прямоугольном треугольнике определяется отношением одного катета к другому, и вычислил небольшую таблицу котангенсов через 1  . Точнее говоря, он вычислил длину тени b=a  =a  ctg  шеста определенной длины (а=12) для  =1  ,2  ,3  ……

Абу-ль-Вафа из Хоросана, живший в Х веке (940-998) , составил аналогичную «таблицу тангенсов», т.е. вычислил длину тени b=a  =a  tg  , отбрасываемой горизонтальным шестом определенной длины (а=60) на вертикальную стену (см. чертеж).

Следует отметить, что сами термины « тангенс» (в буквальном переводе- «касающийся») и «котангенс» произошли из латинского языка и появились в Европе значительно позднее (XVI-XVIIвв.). Среднеазиатские же ученые называли соответствующие линии «тенями»: котангенс-«первой тенью», тангенс- «второй тенью».

Абу-ль-Вафа дал совершенно точное геометрическое определение линии тангенса в тригонометрическом круге и присоединил к линиям тангенса и котангенса линии секанса и косеканса. Он же выразил (словесно) алгебраические зависимости между всеми тригонометрическими функциями и, в частности, для случая, когда радиус круга равен единице. Этот чрезвычайно важный случай был рассмотрен европейскими учеными на 300 лет позднее. Наконец, Абу-ль-Вафа составил таблицу синусов через каждые 10  .

В трудах среднеазиатских ученых тригонометрия превратилась из науки, обслуживающей астрономию, в особую математическую дисциплину, представляющую самостоятельный интерес.

Тригонометрия отделяется от астрономии и становится самостоятельной наукой. Это отделение обычно связывают с именем азербайджанского математика Насирэддина Туси (1201-1274).

Впервые в европейской науке стройное изложение тригонометрии дано в книге « О треугольниках разных родов» ,написанной Иоганном Мюллером , более известным в математике под именем Региомонтана(1436-1476). Он обобщает в ней методы решения прямоугольных треугольников и дает таблицы синусов с точностью до 0,0000001. При этом замечательно то, что он полагал радиус круга равным 10 000 000 или 10 000, т.е. выразил значения тригонометрических функций в десятичных дробях, перейдя фактически от шестидесятиричной системы счисления к десятичной.

Английский ученый XIV века Брадвардин (1290-1349) первый в Европе ввел в тригонометрические вычисления котангенс под названием «прямой тени» и тангенс под названием «обратной тени».

На пороге XVIIв. В развитии тригонометрии намечается новое направление- аналитическое. Если до этого главной целью тригонометрии считалось решение треугольников, вычисление элементов геометрических фигур и учение о тригонометрических функциях строилось на геометрической основе, то в XVII-XIX вв. тригонометрия постепенно становится одной из глав математического анализа. О свойствах периодичности тригонометрических функций знал еще Виет , первые математические исследования которого относились к тригонометрии.

Швейцарский математик Иоганн Бернулли (1642-1727) уже применял символы тригонометрических функций.

В первой половине XIXв. французский ученый Ж.Фурье доказал, что всякое периодическое движение может быть представлено в виде суммы простых гармонических колебаний.

Огромное значение в истории тригонометрии имело творчество знаменитого петербургского академика Леонарда Эйлера(1707-1783), он придал всей тригонометрии современный вид.

В своем труде «Введение в анализ»(1748 г.) Эйлер разработал тригонометрию как науку о тригонометрических функциях, дал ей аналитическое изложение, выведя всю совокупность тригонометрических формул из немногих основных формул.

Эйлеру принадлежит окончательное решение вопроса о знаках тригонометрических функций во всех четвертях круга, вывод формул приведения для общих случаев.

Введя в математику новые функции- тригонометрические, стало целесообразным поставить вопрос о разложении этих функций в бесконечный ряд. Оказывается, такие разложения возможны:

Sinx=x-

Cosx=1-

Эти ряды позволяют значительно облегчить составление таблиц тригонометрических величин и для нахождения их с любой степени точности.

Аналитическое построение теории тригонометрических функций, начатое Эйлером, было завершено в работах Н.И.Лобачевского, Гаусса, Коши, Фурье и других.

« Геометрические рассмотрения,- пишет Лобачевский,- необходимы до тех пор в начале тригонометрии, покуда они не послужат к открытию отличительного свойства тригонометрических функций…Отсюда делается тригонометрия совершенно независимой от геометрии и имеет все достоинства анализа».

В наше время тригонометрия больше не рассматривается как самостоятельная ветвь математики. Важнейшая ее часть-учение о тригонометрических функциях -является частью более общего, построенного с единой точки зрения учения о функциях, изучаемых в математическом анализе; другая же часть- решение треугольников -рассматривается как глава геометрии.

3.Мир тригонометрии.

3.1 Применение тригонометрии в различных науках.

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела.

Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалеких звезд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Следует отметить применение тригонометрии в следующих областях: техника навигации, теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ), компьютерная томография, фармацевтика, химия, теория чисел, сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография, геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

Тригонометрия в физике.

Гармонические колебания.

Когда какая-либо точка движется по прямой линии попеременно то в одну, то в другую сторону, то говорят, что точка совершает колебания.

Одним из простейших видов колебаний является движение по оси проекции точки М, которая равномерно вращается по окружности. Закон этих колебаний имеет вид x=Rcos(t+  ), (1).

где R-радиус окружности, Т-время одного оборота точки М, а число  показывает начальное положение точки на окружности. Такие колебания называют гармоническими или синусоидальными.

Из равенства (1) видно, что амплитуда гармонических колебаний равна радиусу окружности, по которой движется точка М, а частота этих колебаний равна .

Обычно вместо этой частоты рассматривают циклическую частоту  = , показывающую угловую скорость вращения, выраженную в радианах в секунду. В этих обозначениях имеем: x= R cos( t+  ). (2)

Число  называют начальной фазой колебания .

Изучение колебаний всякого рода важно уже по одному тому, что с колебательными движениями или волнами мы сталкиваемся весьма часто в окружающем нас мире и с большим успехом используем их (звуковые волны, электромагнитные волны).

Механические колебания.

Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или маятник. Возьмем, например, гирю, подвешенную на пружине (см.рис.) и толкнем ее вниз. Гиря начнет колебаться вниз и вверх. Как показывают расчеты, отклонение гири от положения равновесия выражается формулой s= sin  t.

Здесь v 0 -скорость, с которой мы толкнули гирю,а  = , где m-масса гири,k- жесткость пружины(сила, которая нужна, чтобы растянуть пружину на 1 см).

Если мы сначала оттянем гирю на s 0 см,а потом толкнем ее со скоростью v 0 , то она будет совершать колебания по более сложному закону: s=Asin( t+  ) (2).

Расчеты показывают, что амплитуда А этого колебания равна ,а число таково, что tg  = . Из-за слагаемого  это колебание отличается от колебания s=Asin  t.

График колебания (2) получается из графика колебания(1) сдвигом влево

на . Число  называют начальной фазой.

Колебания маятника.

Колебания маятника тоже приближенно происходят по синусоидальному закону. Графическое изображение этой функции, дающее наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени удобно рассмотреть с помощью модели маятника программы « Функции и графики» (см. приложение VIII).

Если эти колебания малы, то угол отклонения маятника приближенно выражается формулой:

 =  0 sin(t ), где l -длина маятника, а  0 -начальный угол отклонения. Чем длиннее маятник, тем медленнее он качается.(Это хорошо видно на рис.1-7 прилож. VIII). На рис.8-16 ,приложения VIII хорошо видно,как изменение начального отклонения влияет на амплитуду колебаний маятника, период при этом не меняется. Измеряя период колебания маятника известной длины, можно вычислять ускорение земного тяготения g в различных точках земной поверхности.

Разряд конденсатора.

Не только многие механические колебания происходят по синусоидальному закону. И в электрических цепях возникают синусоидальные колебания. Так в цепи, изображенной в правом верхнем углу модели, заряд на обкладках конденсатора изменяется по закону q = CU + (q 0 – CU ) cos ω t ,где С- емкость конденсатора, U –напряжение на источнике тока, L –индуктивность катушки, - угловая частота колебаний в цепи.

Благодаря модели конденсатора, имеющейся в программе « Функции и графики» можно устанавливать параметры колебательного контура и строить, соответствующие графики g(t)и I(t). На графиках 1-4 хорошо видно как влияет напряжение на изменение силы тока и заряда конденсатора, при этом видно, что при положительном напряжении заряд также принимает положительные значения. На рис.5-8 приложения IX показано, что при изменении емкости конденсатора(при изменении индуктивности катушки на рис. 9-14 приложения IX) и сохранении неизменными остальных параметров меняется период колебаний, т.е. меняется частота колебаний силы тока в цепи и меняется частота заряда конденсатора..(см. приложение IX).

Как соединить две трубы.

Приведенные примеры могут создать впечатление, что синусоиды встречаются только в связи с колебаниями. Однако это не так. Например, синусоиды используются при соединении двух цилиндрических труб под углом друг к другу.Чтобы соединить две трубы таким образом, надо срезать их наискосок.

Если развернуть срезанную наискосок трубу, то она окажется ограниченной сверху синусоидой. В этом можно убедиться, обернув свечку бумагой, срезав ее наискосок и развернув бумагу. Поэтому, чтобы получить ровный срез трубы, можно сначала обрезать металлический лист сверху по синусоиде и свернуть его в трубу.

Теория радуги.

Впервые теория радуги была дана в 1637 году Рене Декартом . Он объяснил радугу, как явление, связанное с отражением и преломлением света в дождевых каплях.

Радуга возникает из-за того, что солнечный свет испытывает преломление в капельках воды, взвешенных в воздухе по закону преломления:

где n 1 =1, n 2 ≈1,33 – соответственно показатели преломления воздуха и воды, α – угол падения, а β – угол преломления света.

Северное сияние

Проникновение в верхние слои атмосферы планет заряженных частиц солнечного ветра определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром.

Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу называется, силой Лоренца. Она пропорциональна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости движения частицы

Задачи по тригонометрии с практическим содержанием.

Винтовая линия.

Представим себе, что на боковую поверхность цилиндра с диаметром d наматывается прямоугольный треугольник АВС (см.рис.)с основанием АС =  d так, что основание это совпадает с окружностью основания цилиндра. Так как АС =  d , то точка С после того, как весь треугольник будет навернут на боковую поверхность цилиндра, совпадает с точкой А 1 , точка В займет положение В 1 на образующей А 1 В 1 цилиндра, а гипотенуза АВ займет некоторое положение на боковой поверхности цилиндра и примет форму винтовой линии.

Мы получили один виток винтовой линии. Длина катета ВС (h) называется шагом винтовой линии. Угол ВАС ( ) называется углом подъема винтовой линии. Найдем зависимость между h,d, и  . Из треугольника АВС имеем h=  dtg  ;полученная формула позволяет также определить угол подъема по данным h и d. tg  = .

Определение коэффициента трения.

Тело веса Р положено на наклонную плоскость с углом наклона  . Тело под действием своего собственного веса прошло ускоренно путь S в t секунд. Определить коэффициент трения k.

Решение.

Сила давления тела на наклонную плоскость =kPcos  .

Сила, которая тянет тело вниз равна F=Psin  -kPcos  =P(sin  -kcos  ).(1)

Если тело движется по наклонной плоскости, то ускорение а= .

С другой стороны, ускорение а= = =gF ;следовательно, .(2)

Из равенств (1) и (2) следует, что g(sin  -kcos  )= .

Отсюда: k= =gtg  - .

Тригонометрия в планиметрии.

Основные формулы при решении задач по геометрии с применением тригонометрии :

Sin²α=1/(1+ctg²α)=tg²α/(1+tg²α); cos²α=1/(1+tg²α)=ctg²α/(1+ctg²α);

Sin(α±β)=sinα*cosβ±cosα*sinβ; cos(α±β)=cosα*cos+sinα*sinβ.

Соотношение сторон и углов в прямоугольном треугольнике:

1. Катет прямоугольного треугольника равен произведению другого катета на тангенс противолежащего угла.
2. Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус прилежащего угла.
3. Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус прилежащего угла.
4. Катет прямоугольного треугольника равен произведению другого катета на котангенс прилежащего угла.

Задача1: На боковых сторонах АВ и СD равнобокой трапеции ABCD взяты точки М и N таким образом, что прямая MN параллельна основаниям трапеции. Известно, что в каждую из образовавшихся малых трапеций MBCN и AMND можно вписать окружность, причем радиусы этих окружностей равны r и R соответственно. Найти основания AD и BC.

Дано: ABCD-трапеция,AB=CD, MєAB,NєCD, MN||AD, в трапеции MBCN и AMND можно вписать окружность с радиусом r и R соответственно.

Найти: AD и BC.

Решение:

Пусть O1 и O2 – центры вписанных в малые трапеции окружностей. Прямая О1К||CD.

В ∆ O1O2K cosα =O2K/O1O2 = (R-r)/(R+r).

Т.к. ∆O2FD прямоугольный, то O2DF = α/2 => FD=R*ctg(α/2). Т.к. AD=2DF=2R*ctg(α/2),

аналогично BC = 2r* tg(α/2).

Cos α = (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => (R-r)/(R+r)= (1-tg²(α/2))/(1+tg²(α/2)) => (1-r/R)/(1+r/R)= (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => tg (α/2)=√(r/R) => ctg(α/2)= √(R/r), тогда AD=2R*ctg(α/2), BC=2r*tg(α/2), находим ответ.

Ответ: AD=2R√(R/r), BC=2r√(r/R).

Задача2 : В треугольнике ABC известны стороны b, c и угол между медианой и высотой, исходящими из вершины A. Вычислить площадь треугольника ABC.

Дано: ∆ ABC, AD-высота, AE-медиана, DAE=α, AB=c, AC=b.

Найти: S∆ABC.

Решение:

Пусть CE=EB=x, AE=y, AED=γ. По теореме косинусов в ∆AEC b²=x²+y²-2xy*cosγ(1); а в ∆ACE по теореме косинусов c²=x²+y²+2xy*cosγ(2). Вычитая из 1 равенства 2 получим c²-b²=4xy*cosγ(3).

Т.К. S∆ABC=2S∆ACE=xy*sinγ(4), тогда разделив 3 равенство на 4 получим: (c²-b²)/S=4*ctgγ, но ctgγ=tgαб, следовательно S∆ABC= (с²-b²)/4*tgα.

Ответ: (с²-b²)/4*tgα.

Тригонометрия в искусстве и архитектуре.

Архитектура не единственная сфера науки, в которой используются тригонометрические формулы. Большинство композиционных решений и построений рисунков проходило именно с помощью геометрии. Но теоретические данные мало что значат. Хочу привести пример на построение одной скульптуры французского мастера Золотого века искусства.

Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Однако при поднятии статуи на высокий пьедестал, она смотрелась уродливой. Скульптором не было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности. Велось множество расчетов, чтобы фигура с большой высоты смотрелась пропорционально. В основном они были основаны на методе визирования, то есть приблизительного измерения, на глаз. Однако коэффициент разности тех или иных пропорций позволили сделать фигуру более приближенной к идеалу. Таким образом, зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы (тоже самое мы можем сделать и с нижней точкой зрения), тем самым найдем точку зрения (рис.1)

Ситуация меняется (рис2), так как статую поднимают на высоту АС и НС увеличиваются, можно рассчитать значения косинуса угла С, по таблице найдем угол падения взгляда. В процессе можно рассчитать АН, а также синус угла С, что позволит проверить результаты с помощью основного тригонометрического тождества cos 2  + sin 2  = 1.

Сравнив измерения АН в первом и во втором случаи можно найти коэффициент пропорциональности. Впоследствии мы получим чертеж, а потом скульптуру, при поднятии которой зрительно фигура будет приближена к идеалу.

Тригонометрия в медицине и биологии.

Модель биоритмов

Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций. Для построения модели биоритмов необходимо ввести дату рождения человека, дату отсчета (день, месяц, год) и длительность прогноза (кол-во дней).

Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.

Формула сердца

В результате исследования, проведенного студентом иранского университета Шираз Вахидом-Резой Аббаси, медики впервые получили возможность упорядочить информацию, относящуюся к электрической активности сердца или, другими словами, электрокардиографии.
Формула, получившая название тегеранской, была представлена широкой научной общественности на 14-й конференции географической медицины и затем - на 28-й конференции по вопросам применения компьютерной техники в кардиологии, состоявшейся в Нидерландах. Эта формула представляет собой комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии. Как утверждают медики, эта формула в значительной степени облегчает процесс описания основных параметров деятельности сердца, ускоряя, тем самым, постановку диагноза и начало собственно лечения.

Тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов.

Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. Строго говоря, идея "измерения углов" не является новой. Еще художники Древнего Китая рисовали удаленные объекты выше в поле зрения, несколько пренебрегая законами перспективы. Сформулировал теорию определения расстояния по оценке углов арабский ученый XI века Альхазен. После долгого забвения в середине прошлого столетия идею реанимировал психолог Джеймс Гибсон (James Gibson), строивший свои выводы на основе опыта работы с пилотами военной авиации. Однако после того о теории

вновь позабыли.

Результаты нового исследования, как можно предположить, окажутся небезынтересны инженерам, конструирующим системы навигации для роботов, а также специалистам, которые работают над созданием максимально реалистичных виртуальных моделей. Возможны и приложения в области медицины, при реабилитации пациентов с повреждениями определенных областей мозга.

3.2 Графические представления о превращении «мало интересных» тригонометрических функций в оригинальные кривые.

Кривые в полярных координатах.

с. 16ис. 19 Розетки.

В полярных координатах выбираются единичный отрезок e, полюс О и полярная ось Ох. Положение любой точки М определяется полярным радиусом ОМ и полярным углом  , образованным лучом ОМ и лучом Ох. Число r ,выражающее длину ОМ через е (ОМ=rе) и численное значение угла  , выраженного в градусах или в радианах, называются полярными координатами точки М.

Для любой точки, отличной от точки О, можно считать 0 ≤  2  и r  0. однако при построении кривых, соответствующих уравнениям вида r=f( ), переменному  естественно придавать любые значения (в том числе и отрицательные, и превышающие 2  ), а r может оказаться как положительным, так и отрицательным.

Для того чтобы найти точку ( ,r), проведем из точки О луч, образующий с осью Ох угол  , и отложим на нем (при r  0) или на его продолжении в противоположную сторону (при r  0) отрезок  r  е.

Все значительно упростится, если предварительно построить координатную сетку, состоящую из концентрических окружностей с радиусами е,2е,3е и т. д.(с центром в полюсе О) и лучей, для которых  =0  ,10  ,20  ,…,340  ,350  ; эти лучи будут пригодны и при  0  , и при  360  ; например, при  =740  и при  =-340  мы попадем на луч, для которого  =20  .

Исследованию данных графиков помогает компьютерная программа « Функции и графики» . Пользуясь, возможностями этой программы исследуем некоторые интересные графики тригонометрических функций.

1 .Рассмотрим кривые, заданные уравнениями: r=a+sin3 

I. r=sin3  (трилистник ) (рис.1)

II.r=1/2+sin3  (рис.2), III. r=1+ sin3  (рис.3), r=3/2+ sin3  (рис.4) .

У кривой IV наименьшее значение r=0,5 и лепестки имеют незаконченный вид. Таким образом при а  1 лепестки трилистника имеют незаконченный вид.

2.Рассмотрим кривые при а=0; 1/2; 1;3/2

При а=0 (рис.1),при а=1/2 (рис.2), при а=1 (рис.3) лепестки имеют законченный вид, при а=3/2 будет пять незаконченных лепестков., (рис.4).

3.В общем случае у кривой r= первый лепесток будет заключен в секторе (0  ; ), т.к. в этом секторе 0  ≤ ≤180  . При   1 лепесток будет занимать сектор, больший 180  , но меньший 360  , а при  для одного лепестка потребуется «сектор», превышающий 360  .

На рис1-4 показан вид лепестков при = , , , .

4.Уравнения, найденные немецким математиком-натуралистом Хабенихтом для геометрических форм, встречающихся в мире растений. Например, уравнениям r=4(1+cos3  ) и r=4(1+cos3  )+4sin 2 3  соответствуют кривые, изображенные на рис.1.2 .

Кривые в декартовых координатах.

Кривые Лиссажу.

Много интересных кривых можно построить и в декартовых координатах. Особенно интересно выглядят кривые, уравнения которых даны в параметрическом виде:

Где t-вспомогательное переменное(параметр). Например, рассмотрим кривые Лиссажу, характеризуемые в общем случае уравнениями:

Если за параметр t взять время, то фигуры Лиссажу будут представлять собой результат сложения двух гармонических колебательных движений, совершаемых во взаимно перпендикулярных направлениях. В общем случае кривая располагается внутри прямоугольника со сторонами 2а и2в.

Рассмотрим это на следующих примерах

I. x=sin3t; y=sin 5t (рис.1)

II. x=sin 3t; y=cos 5t (рис.2)

III. x=sin 3t; y=sin 4t.(рис.3)

Кривые могут быть замкнутыми и незамкнутыми.

Например, замена уравнений I уравнениями: x=sin 3t; y=sin5(t+3) превращает незамкнутую кривую в кривую замкнутую.(рис.4)

Интересны и своеобразны линии, соответствующие уравнениям вида

у=arcsin(sin k(x-  )).

Из уравнения y=arcsin(sinx) следует:

1) и 2)siny=sinx.

При этим двум условиям удовлетворяет функция у=х. Графиком ее в интервале (- ; ) будет отрезок АВ ломаной, изображенной на графике.

В интервале будем иметь у=  -х, так как sin( -x)=sinx и в этом интервале

Здесь график изобразится отрезком ВС.

Так как sinx –периодическая функция с периодом 2  , то ломаная АВС, построенная в интервале(, ) повторится на других участках.

Уравнению y=arcsin(sinkx) будет соответствовать ломаная линия с периодом (период функции sin kx).

Добавляя в правой части множитель m получим уравнение у=arcsin(sin kх), которому будет отвечать ломаная. На рисунке изображены графики при k=2,m=1/2;k=2, m=-2.

Математические орнаменты.

Под математическим орнаментом будем понимать рисунок, характеризуемый каким-нибудь уравнением или неравенством (а может быть системой уравнений или неравенств), в котором многократно повторяется тот или иной узор.

удовлетворяют координаты точек, которые лежат одновременно выше синусоиды (для них у>sinx) и ниже кривой y=-sinx, т.е. « область решений» системы будет состоять из закрашенных на рис.1 областей.

2.Рассмотрим неравенства

1. (y-sinx)(y+sinx)

Для решения данного неравенства сначала строим графики функций: y=sinx; y=-sinx.

Затем закрашиваем области, где y>sinx и одновременно y-sinx.

Этому неравенству будут удовлетворять области,закрашенные на рис.2

2)(y 2 -arcsin 2 (sinx))(y 2 -arcsin 2 (sin(x+ )))

Перейдем к следующему неравенству:

(y-arcsin(sinx))(y+arcsin(sinx)){ y-arcsin(sin(x+ ))}{y+arcsin(sin(x+ ))}

Для решения данного неравенства сначала строим графики функций: y=±arcsin(sinx); y=±arcsin(sin(x+ )) .

Составим таблицу возможных вариантов решений. +

Затем рассматриваем и закрашиваем решения следующих систем.

4) 5) 6)

7) 8)

Этому неравенству будут удовлетворять области, закрашенные на рис.3

3)(y 2 -sin 2 x)(y 2 -sin 2 (x+ ))(y 2 -sin 2 (x- ))

Для решения данного неравенства сначала строим графики функций: y=±sinx; y=±sin(x+ ); y=±sin(x- ) .

Левая часть исходного неравенства состоит из трех множителей. Произведение трех множителей меньше нуля, если хотя бы один из них меньше, а два других больше нуля. Поэтому рассматриваем три случая: 1) Первый множитель меньше нуля,т,е.|y||sin(x+ )| и |y|>|sin(x- )|.

2) Второй множитель меньше нуля, т.е|y|)| , другие множители положительны, т.е. .|y|>|sinx| и |y|>|sin(x- )|.

3) Третий множитель меньше нуля,т.е. |y|)|, другие множители положительны, т.е. |y|>|sinx| и |y|>|sin(x+ )|.

Затем рассматриваем и закрашиваем решения в каждом случае.

Этому неравенству будут удовлетворять области,закрашенные на рис.4

4. Заключение.

Связь математики с окружающим миром позволяет «материализовать» знания школьников. Это помогает нам лучше понять жизненную необходимость знаний, приобретаемых в школе.

Под математической задачей с практическим содержанием (задачей прикладного характера) мы понимаем задачу, фабула которой раскрывает приложения математики в смежных учебных дисциплинах, технике, в быту.

Использование моделирующей программы « Функции и графики» значительно расширило возможности проведения исследований, позволило материализовать знания при рассмотрении приложений тригонометрии в физике.Благодаря этой программе проведены лабораторные компьютерные исследования механических колебаний на примере колебаний маятника, рассмотрены колебания в электрической цепи. Использование компьютерной программы позволило исследовать интересные математические кривые, задаваемые с помощью тригонометрических уравнений и построением графиков в полярных и декартовых координатах. Графическое решение тригонометрических неравенств привело к рассмотрению интересных математических орнаментов.

5.Список использованной литературы.

1. .Атанасов П.Т., Атанасов Н.П. Сборник математических задач с практическим содержанием: Кн.для учителя.-М.:Просвещение,1987-110с.
2. .Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике: Кн. для внеклассного чтения IX-X кл.-М.:Просвещение,1985-148-165с(Мир знаний).
3. Доморяд А.П. Математические игры и развлечения. Гос.изд.физ-мат.лит.М,1961-148-169стр.
4. .Кожуров П.Я. Курс тригонометрии для техникумов. Гос. изд. технико-теоретической лит. М.,1956
5. Колосов А.А. Кн.для внеклассного чтения по математике в старших классах. Гос. учебно-пед. изд.Мин.Просв. РФ,М.,1963-407с.
6. Муравин Г.К.,Тараканова О.В. Элементы тригонометрии. 10 кл..-М.:Дрофа,2001-128с.
7. Пичурин Л.Ф. О тригонометрии и не только о ней: пособие для учащихся 9-11 кл.. –М.:Просвещение,1996-80с.
8. Шапиро И.М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики. Кн.для учителя.-М.:Просвещение,1990-96с.

ТРИГОНОМЕТРИЯ –(от греч. trigwnon – треугольник и metrew – измеряю) – математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами треугольников и тригонометрические функции.

Термин «тригонометрия» ввел в употребление в 1595 немецкий математик и богослов Варфоломей Питиск, автор учебника по тригонометрии и тригонометрических таблиц. К концу 16 в. большинство тригонометрических функций было уже известно, хотя само это понятия еще не существовало.

В тригонометрии выделяют три вида соотношений: 1) между самими тригонометрическими функциями; 2) между элементами плоского треугольника (тригонометрия на плоскости); 3) между элементами сферического треугольника, т.е. фигуры, высекаемой на сфере тремя плоскостями, проходящими через ее центр. Тригонометрия началась именно с наиболее сложной, сферической части. Она возникла прежде всего из практических нужд. Древние наблюдали за движением небесных светил. Ученые обрабатывали данные измерений, чтобы вести календарь и правильно определять время начала сева и сбора урожая, даты религиозных праздников. По звездам вычисляли местонахождение корабля в море или направление движения каравана в пустыне. Наблюдения за звездным небом с незапамятных времен вели и астрологи.

Естественно, все измерения, связанные с расположением светил на небосводе, – измерения косвенные. Прямые могли быть проведены только на поверхности Земли, но и здесь далеко не всегда удавалось непосредственно определить расстояние между какими-то пунктами и тогда вновь прибегали к косвенным измерениям. Например, вычисляли высоту дерева, сравнивая длину его тени с длиной тени от какого-нибудь шеста, высота которого была известна. Аналогичным образом вычисляли и размеры острова в море. Подобные задачи сводятся к анализу треугольника, в котором одни его элементы выражают через другие. Этим и занимается тригонометрия. А поскольку звезды и планеты представлялись древним точками на небесной сфере, то сначала стала развиваться именно сферическая тригонометрия. Ее считали разделом астрономии.

А начиналось все очень давно. Первые отрывочные сведения по тригонометрии сохранились на клинописных табличках Древнего Вавилона. Астрономы Междуречья научились предсказывать положение Земли и Солнца и именно от них к нам пришла система измерения углов в градусах, минутах и секундах, потому что у вавилонян была принята шестидесятеричная система счисления .

Однако первые по-настоящему важные достижения принадлежат древнегреческим ученым. Например, 12-я и 13-я теоремы второй книги Начал Евклида (конец 4–3 в. до н. э.) выражают по существу теорему косинусов. Во 2 в. до н.э. астроном Гиппарх из Никеи (180–125 до н.э.) составил таблицу для определения соотношений между элементами треугольников. Такие таблицы нужны потому, что значения тригонометрических функций нельзя вычислить по аргументам с помощью арифметических операций. Тригонометрические функции приходилось рассчитывать заранее и хранить в виде таблиц. Гиппарх подсчитал в круге заданного радиуса длины хорд, отвечающих всем углам от 0 до 180°, кратным 7,5°. По существу, это таблица синусов. Труды Гиппарха до нас не дошли, но многие сведения из них включены в Альмагест (II в.) – знаменитое сочинение в 13 книгах греческого астронома и математика Клавдия Птолемея (ум. ок.160 н. э.). Древние греки не знали синусов, косинусов и тангенсов, вместо таблиц этих величин они употребляли таблицы, позволявшие находить хорду окружности по стягиваемой дуге. В Альмагесте автор приводит таблицу длин хорд окружности радиуса в 60 единиц, вычисленных с шагом 0,5° с точностью до 1/3600 единицы, и объясняет, как эта таблица составлялась. Труд Птолемея несколько веков служил введением в тригонометрию для астрономов.

Чтобы понять, как ученые древности составляли тригонометрические таблицы, надо познакомиться с методом Птолемея. Метод основан на теореме – произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Пусть ABCD – вписанный четырехугольник, АD – диаметр окружности, а точка O – ее центр (рис. 1). Если известно, как вычислять хорды, стягивающие углы DOC = a и DОВ = b, т. е. сторону СD и диагональ B, то, по теореме Пифагора , из прямоугольных треугольников АDВ и АDС можно найти АВ и АС, а потом, по теореме Птолемея, – BC = (АС ·ВD – АВ ·СD ) /АD , т.е. хорду, стягивающую угол ВОС = b – a. Некоторые хорды, например стороны квадрата, правильных шестиугольника и восьмиугольника, отвечающие углам 90, 60 и 45°, легко определить. Известна также сторона правильного пятиугольника, которая стягивает дугу в 72°. Приведенное выше правило позволяет вычислять хорды для разностей этих углов, например для 12° = 72° – 60°. Кроме того, можно находить хорды половинных углов, однако этого недостаточно, чтобы рассчитать, чему равна хорда дуги в 1°, – хотя бы потому, что все названные углы кратны 3°. Для хорды 1° Птолемей нашел оценку, показав, что она больше 2/3 хорды (3/2)° и меньше 4/3 хорды (3/4)° – двух чисел, совпадающих с достаточной для его таблиц точностью.

Если греки по углам вычисляли хорды, то индийские астрономы в сочинениях 4–5 вв. перешли к полухордам двойной дуги, т.е. в точности к линиям синуса (рис. 2). Они пользовались и линиями косинуса – вернее, не его самого, а «обращенного» синуса, получившего позднее в Европе название «синус-верзус», сейчас эта функция, равная 1 – cos a, уже не употребляется. Впоследствии тот же подход привел к определению тригонометрических функций через отношения сторон прямоугольного треугольника.

За единицу измерения отрезков MP , OP , PA принималась дуговая минута. Так, линия синуса дуги AB = 90° есть OB – радиус окружности; дуга AL , равная радиусу, содержит (округленно) 57°18" = 3438".

Дошедшие до нас индийские таблицы синусов (древнейшая составлена в 4–5 веке н.э.) не столь точны, как птолемеевы; они составлены через 3°45" (т.е. через 1/24 часть дуги квадранта).

Термины «синус» и «косинус» пришли от индийцев, не обошлось и без любопытного недоразумения. Полухорду индийцы называли «ардхаджива» (в переводе с санскрита – «половина тетивы лука»), а потом сократили это слово до «джива». Мусульманские астрономы и математики, получившие знания по тригонометрии от индийцев, восприняли его как «джиба», а затем оно превратилось в «джайб», что на арабском языке означает «выпуклость», «пазуха». Наконец, в 7 в. «джайб» буквально перевели на латынь словом «sinus», которое не имело никакого отношения к обозначаемому им понятию. Санскритское «котиджива» – синус остатка (до 90°), а на латинском – sinus complementi, т.е. синус дополнения, в 17 в. сократилось до слова «косинус». Наименования «тангенс» и «секанс» (в переводе с латинского означающие «касательная» и «секущая») введены в 1583 немецким ученым Финком.

Большой вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые, например, Аль-Баттани (ок. 900 н.э.). В 10 в. багдадский ученый Мухаммед из Буджана, известный под именем Абу-ль-Вефа (940–997), присоединил к линиям синусов и косинусов линии тангенсов, котангенсов, секансов и косекансов. Он дает им те же определения, которые содержатся и в наших учебниках. Абу-ль-Вефа устанавливает и основные соотношения между этими линиями.

Итак, к концу 10 в. ученые исламского мира уже оперировали, наряду с синусом и косинусом, четырьмя другими функциями – тангенсом, котангенсом, секансом и косекансом; открыли и доказали несколько важных теорем плоской и сферической тригонометрии; использовали окружность единичного радиуса (что позволило толковать тригонометрические функции в современном смысле); придумали полярный треугольник сферического треугольника. Арабские математики составили точные таблицы, например таблицы синусов и тангенсов с шагом в 1" и точностью до 1/700 000 000. Очень важной прикладной задачей была и такая: научиться определять направление на Мекку для пяти ежедневных молитв, где бы ни находился мусульманин.

Особенно большое влияние на развитие тригонометрии оказал Трактат о полном четырехстороннике астронома Насир-эд-Дин из Туса (1201–1274), известного так же под именем ат-Туси. Это было первое в мире сочинение, в котором тригонометрия трактовалась как самостоятельная область математики.

В 12 в. был переведен с арабского языка на латинский ряд астрономических работ, по ним впервые европейцы познакомились с тригонометрией.

Трактат Насир-эд-Дина произвел большое впечатление на немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (1436–1476). Современники больше знали его под именем Региомонтана (так переводится на латинский название его родного города Кенигсберга, ныне – Калининграда). Региомонтан составил обширные таблицы синусов (через 1 минуту с точностью до седьмой значащей цифры). Он впервые отступил от шестидесятиричного деления радиуса и за единицу измерения линии синуса принял одну десятимиллионную часть радиуса. Таким образом, синусы выражались целыми числами, а не шестидесятиричными дробями. До введения десятичных дробей оставался только один шаг, но он потребовал более 100 лет. Труд Региомонтана О треугольниках всех родов пять книг сыграл в европейской математике ту же роль, что и сочинение Насир-эд-Дина в науке мусульманских стран.

За таблицами Региомонтана последовал ряд других, еще более подробных. Друг Коперника Ретик (1514–1576) вместе с несколькими помощниками в течение 30 лет работал над таблицами, законченными и изданными в1596 его учеником Отто. Углы шли через 10"", а радиус делился на 1 000 000 000 000 000 частей, так что синусы имели 15 верных цифр.

Дальнейшее развитие тригонометрии шло по пути накопления и систематизации формул, уточнения основных понятий, становления терминологии и обозначений. Многие европейские математики работали в области тригонометрии. Среди них такие великие ученые, как Николай Коперник (1473–1543), Тихо Браге (1546–1601) и Иоганн Кеплер (1571–1630). Франсуа Виет (1540–1603) дополнил и систематизировал различные случаи решения плоских и сферических треугольников, открыл «плоскую» теорему косинусов и формулы для тригонометрических функций от кратных углов. Исаак Ньютон (1643–1727) разложил эти функции в ряды и открыл путь для их использования в математическом анализе. Леонард Эйлер (1707–1783) ввел и само понятие функции, и принятую в наши дни символику. Величины sin x , cos x и т.д. он рассматривал как функции числа x – радианной меры соответствующего угла. Эйлер давал числу x всевозможные значения: положительные, отрицательные и даже комплексные. Он также обнаружил связь между тригонометрическими функциями и экспонентой комплексного аргумента, что позволило превратить многочисленные и зачастую весьма замысловатые тригонометрические формулы в простые следствия из правил сложения и умножения комплексных чисел. Он же ввел и обратные тригонометрические функции.

К концу 18 в. тригонометрия как наука уже сложилась. Тригонометрические функции нашли применение в математическом анализе, физике, химии, технике – везде, где приходится иметь дело с периодическими процессами и колебаниями – будь то акустика, оптика или качание маятника.

Решение любых треугольников, в конечном счете, сводится к решению прямоугольных треугольников (т.е. таких, у которых один из углов – прямой). Поскольку все прямоугольные треугольники с заданным острым углом подобны друг другу, отношения их соответственных сторон одинаковы. Например, в прямоугольном треугольнике ABC отношение двух его сторон, например, катета а к гипотенузе с , зависит от величины одного из острых углов, например А . Отношения различных пар сторон прямоугольного треугольника и называются тригонометрическими функциями его острого угла. Всего таких отношений в треугольнике шесть, и им отвечают шесть тригонометрических функций (обозначения сторон и углов треугольника на рис. 3).

Так как А + В = 90°, то

sin A = cos B = cos (90° – A ),

A = ctg B = ctg (90° – A ).

Из определений вытекает несколько равенств, связывающих тригонометрические функции одного и того же угла между собой:

С учетом теоремы Пифагора a 2 + b 2 = c 2 можно выразить все шесть функций через какую-нибудь одну. Например, синус и косинус связаны основным тригонометрическим тождеством

sin 2 A + cos 2 A = 1.

Некоторые соотношения между функциями:

Эти формулы справедливы и для тригонометрических функций любого угла, но ими надо пользоваться осторожно, поскольку правые и левые части могут иметь разные области определения.

Есть только два прямоугольных треугольника, у которых и углы «хорошие» (выражаются целым или рациональным числом градусов), и хотя бы одно из отношений сторон рационально. Это равнобедренный треугольник (с углами 45, 45 и 90°) и половина равностороннего треугольника (с углами 30, 60, 90°) – как раз те два случая, когда значения тригонометрических функций удается вычислить прямо по определению. Эти значения приведены в таблице

1. Повторить основные формулы тригонометрии и закрепить их знания в ходе выполнения упражнений;
2. Развивать навыки самоконтроля, умений работать с компьютерной презентацией.
3. Воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов.

Оборудование: Компьютеры, компьютерная презентация.

Ожидаемый результат:

1. Каждый ученик должен знать формулы тригонометрии и уметь применять их для преобразования тригонометрических выражений на уровне обязательных результатов.
2. Знать вывод этих формул и уметь применять их для преобразования тригонометрических выражений.
3. Знать формулы тригонометрии, уметь выводить эти формулы и применять их для более сложных тригонометрических выражений.

Основные этапы урока:

1. Сообщение темы, цели, задач урока и мотивация учебной деятельности.
2. Устный счёт
3. Сообщение из истории математики
4. Повторение (с 9 класса) формул тригонометрии с помощью компьютерной презентации
5. Применение тригонометрических формул к преобразованию выражений
6. Выполнение теста
7. Подведение итогов урока
8. Постановка задания на дом

Ход урока

I. Организационный момент.

Сообщение темы, цели, задач урока и мотивация учебной деятельности

II. Устная работа (задания заранее распечатаны у каждого учащегося):

Радианная мера двух углов треугольника равна и . Найдите градусную меру каждого из углов треугольника. Ответ : 60, 30, 90

Найдите радианную меру углов треугольника, если их величины относятся как 2:3:4. Ответ: , ,

Может ли косинус быть равным: а) , б) , в), г) , д) -2 ? Ответ: а) да; б) нет; в) нет; г) да; д) да.

Может ли синус быть равным: а) –3, 7 б) , в)? Ответ: а) нет; б) да; в) нет.

При каких значения a и b справедливы следующие равенства: а) cos x = ; б)sin x=; в) cos x= ; г) tg x= ; д) sin x = a? Ответ: а) /a/ 7; б) /a/ ; в) 0 г) b – любое число; д) -

III. Сообщение из истории тригонометрии (краткая историческая справка):

Тригонометрия возникла и развивалась в древности как один из разделов астрономии, как её вычислительный аппарат, отвечающий практическим нуждам человека.

Некоторые тригонометрические сведения были известны древним вавилонянам и египтянам, но основы этой науки заложены в Древней Греции.

Греческий астроном Гиппарх во II в. до н. э. составил таблицу числовых значений хорд в зависимости от величин стягиваемых ими дуг. Более полные сведения из тригонометрии содержатся в известном “Альмагесте” Птолемея. Сделанные расчёты позволили Птолемею составить таблицу, которая содержала хорды от 0 до 180 .

Название линий синуса и косинуса впервые были введены индийскими учёными. Они же составили первые таблицы синусов, хотя и менее точные, чем птолемеевы.

В Индии начинается по существу учение о тригонометрических величинах, названное позже гониометрией (от “гониа” - угол и “метрио” - измеряю).

На пороге XVII в. в развитии тригонометрии начинается новое направление – аналитическое.

Тригонометрия даёт необходимый метод развития многих понятий и методы решения реальных задач, возникающих в физике, механике, астрономии, геодозии, картографии и других науках. Кроме этого, тригонометрия является большим помощником в решении стереометрических задач.

IV. Работа на компьютерах с презентацией:

“Основные формулы тригонометрии” (Приложение1)

Предварительно напомнить технику безопасности в кабинете информатики.

• Основные тригонометрические тождества.
• Формулы сложения.
• Формулы приведения
• Формулы суммы и разности синусов (косинусов).
• Формулы двойного аргумента.
• Формулы половинного аргумента.

V. Применение тригонометрических формул к преобразованию выражений.

а) Один учащийся выполняет задание на обороте доски, остальные с места проверяют и поднимают сигнальные карточки (верно – “+”, неверно – “- “) с места.

Выбрать ответ.

Упростить выражение 7 cos - 5.

а) 1+cos; б) 2; в) –12; г) 12

Упростить выражение 5 – 4 si n

а) 1; б) 9; в) 1+8sin; г) 1+cos.

Тригонометрия - это раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Тригонометрические функции используются для описания свойств различных углов, треугольников и периодических функций. Изучение тригонометрии поможет вам понять эти свойства. Занятия в школе и самостоятельная работа помогут вам усвоить основы тригонометрии и понять многие периодические процессы.

Шаги

Изучите основы тригонометрии

Ознакомьтесь с понятием треугольника. В сущности, тригонометрия занимается изучением различных соотношений в треугольниках. Треугольник имеет три стороны и три угла. Сумма углов любого треугольника составляет 180 градусов. При изучении тригонометрии необходимо ознакомиться с треугольниками и связанными с ними понятиями, такими как:

• гипотенуза ― самая длинная сторона прямоугольного треугольника;
• тупой угол ― угол более 90 градусов;
• острый угол ― угол менее 90 градусов.

1. Научитесь строить единичную окружность. Единичная окружность дает возможность построить любой прямоугольный треугольник так, чтобы гипотенуза была равна единице. Это удобно при работе с тригонометрическими функциями, такими как синус и косинус. Освоив единичную окружность, вы легко сможете находить значения тригонометрических функций для определенных углов и решать задачи, в которых фигурируют треугольники с этими углами.

   • Пример 1. Синус угла величиной 30 градусов составляет 0,50. Это означает, что длина противолежащего данному углу катета равна половине длины гипотенузы.
   • Пример 2. С помощью данного соотношения можно вычислить длину гипотенузы треугольника, в котором есть угол величиной 30 градусов, а длина противолежащего этому углу катета равна 7 сантиметрам. В этом случае длина гипотенузы составит 14 сантиметров.

2. Ознакомьтесь с тригонометрическими функциями. Существует шесть основных тригонометрических функций, которые необходимо знать при изучении тригонометрии. Эти функции представляют собой соотношения между различными сторонами прямоугольного треугольника и помогают понять свойства любого треугольника. Вот эти шесть функций:

   • синус (sin);
   • косинус (cos);
   • тангенс (tg);
   • секанс (sec);
   • косеканс (cosec);
   • котангенс (ctg).

3. Запомните соотношения между функциями. При изучении тригонометрии крайне важно понимать, что все тригонометрические функции связаны между собой. Хотя синус, косинус, тангенс и другие функции используются по-разному, они находят широкое применение благодаря тому, что между ними существуют определенные соотношения. Эти соотношения легко понять с помощью единичной окружности. Научитесь пользоваться единичной окружностью, и с помощью описываемых ею соотношений вы сможете решать многие задачи.

   Применение тригонометрии

   1. Узнайте об основных областях науки, в которых используется тригонометрия. Тригонометрия полезна во многих разделах математики и других точных наук. С помощью тригонометрии можно найти величины углов и прямых отрезков. Кроме того, тригонометрическими функциями можно описать любой циклический процесс.

      • Например, колебания пружины можно описать синусоидальной функцией.

   2. Подумайте о периодических процессах. Иногда абстрактные понятия математики и других точных наук трудны для понимания. Тем не менее, они присутствуют в окружающем мире, и это может облегчить их понимание. Приглядитесь к периодическим явлениям вокруг вас и попробуйте связать их с тригонометрией.

      • Луна имеет предсказуемый цикл, продолжительность которого составляет около 29,5 дня.

   3. Представьте себе, как можно изучать естественные циклы. Когда вы поймете, что в природе протекает множество периодических процессов, подумайте о том, как можно изучать эти процессы. Мысленно представьте, как выглядит изображение таких процессов на графике. С помощью графика можно составить уравнение, которое описывает наблюдаемое явление. При этом вам пригодятся тригонометрические функции.

      • Представьте себе приливы и отливы на берегу моря. Во время прилива вода поднимается до определенного уровня, а затем наступает отлив, и уровень воды падает. После отлива вновь следует прилив, и уровень воды поднимается. Этот циклический процесс может продолжаться бесконечно. Его можно описать тригонометрической функцией, например косинусом.

   Изучайте материал заранее

   1. Прочтите соответствующий раздел. Некоторым людям тяжело усвоить идеи тригонометрии с первого раза. Если вы ознакомитесь с соответствующим материалом перед занятиями, то лучше усвоите его. Старайтесь чаще повторять изучаемый предмет - таким образом вы обнаружите больше взаимосвязей между различными понятиями и концепциями тригонометрии.

      • Кроме того, это позволит вам заранее выявить неясные моменты.

   2. Ведите конспект. Хотя беглый просмотр учебника лучше, чем ничего, при изучении тригонометрии необходимо неспешное вдумчивое чтение. При изучении какого-либо раздела ведите подробный конспект. Помните, что знание тригонометрии накапливается постепенно, и новый материал опирается на изученный ранее, поэтому записи уже пройденного помогут вам продвинуться дальше.

      • Помимо прочего, записывайте возникшие у вас вопросы, чтобы затем задать их учителю.

   3. Решайте приведенные в учебнике задачи. Даже если вам легко дается тригонометрия, необходимо решать задачи. Чтобы убедиться, что вы действительно поняли изученный материал, попробуйте перед занятиями решить несколько задач. Если при этом у вас возникнут проблемы, вы определите, что именно вам нужно выяснить во время занятий.

      • Во многих учебниках в конце приведены ответы к задачам. С их помощью можно проверить, правильно ли вы решили задачи.

   4. Берите на занятия все необходимое. Не забывайте свой конспект и решения задач. Эти подручные материалы помогут вам освежить в памяти уже пройденное и продвинуться дальше в изучении материала. Проясняйте также все вопросы, которые возникли у вас при предварительном чтении учебника.

   (1561-1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре.

   Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии , физики и инженерного дела . Большое значение имеет техника триангуляции , позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии , между ориентирами в географии , контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки , акустика , оптика , анализ финансовых рынков, электроника , теория вероятностей , статистика , биология , медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика , химия , теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология , метеорология , океанология , картография , многие разделы физики , топография и геодезия , архитектура , фонетика , экономика , электронная техника , машиностроение , компьютерная графика , кристаллография .

   В Школе СССР имела статус учебного предмета.

   Определение тригонометрических функций

   Первоначально тригонометрические функции были связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике . Их единственным аргументом является угол (один из острых углов этого треугольника).

   • Синус - отношение противолежащего катета к гипотенузе .
   • Косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе.
   • Тангенс - отношение противолежащего катета к прилежащему.
   • Котангенс - отношение прилежащего катета к противолежащему.
   • Секанс - отношение гипотенузы к прилежащему катету.
   • Косеканс - отношение гипотенузы к противолежащему катету.

   Данные определения позволяют вычислить значения функций для острых углов, то есть от 0° до 90° (от 0 до радиан). В XVIII веке Леонард Эйлер дал современные, более общие определения, расширив область определения этих функций на всю числовую ось . Рассмотрим в прямоугольной системе координат окружность единичного радиуса (см. рисунок) и отложим от горизонтальной оси угол (если величина угла положительна, то откладываем против часовой стрелки, иначе по часовой стрелке). Точку пересечения построенной стороны угла с окружностью обозначим A . Тогда:

   Для острых углов новые определения совпадают с прежними.

   Возможно также чисто аналитическое определение этих функций, которое не связано с геометрией и представляет каждую функцию её разложением в бесконечный ряд.

   История

   Древняя Греция

   Древнегреческие математики в своих построениях, связанных с измерением дуг круга, использовали технику хорд. Перпендикуляр к хорде, опущенный из центра окружности, делит пополам дугу и опирающуюся на неё хорду. Половина поделенной пополам хорды - это синус половинного угла, и поэтому функция синус известна также как «половина хорды». Благодаря этой зависимости, значительное число тригонометрических тождеств и теорем, известных сегодня, были также известны древнегреческим математикам, но в эквивалентной хордовой форме.

   Хотя в работах Евклида и Архимеда нет тригонометрии в строгом смысле этого слова, их теоремы представлены в геометрическом виде, эквивалентном специфическим тригонометрическим формулам. Теорема Архимеда для деления хорд эквивалентна формулам для синусов суммы и разности углов. Для компенсации отсутствия таблицы хорд математики времен Аристарха иногда использовали хорошо известную теорему, в современной записи - sin α/ sin β < α/β < tan α/ tan β, где 0° < β < α < 90°, совместно с другими теоремами.

   Теорема Птолемея влечёт за собой эквивалентность четырёх формул суммы и разности для синуса и косинуса. Позднее Птолемей вывел формулу половинного угла. Птолемей использовал эти результаты для создания своих тригонометрических таблиц, хотя, возможно, эти таблицы были выведены из работ Гиппарха. Ни таблицы Гиппарха, ни Птолемея не сохранились до настоящего дня, хотя свидетельства других древних авторов снимают сомнения об их существовании.

   Средневековая Индия

   Другие источники сообщают, что именно замена хорд синусами стала главным достижением Средневековой Индии. Такая замена позволила вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах.

   Индийские учёные пользовались различными тригонометрическими соотношениями, в том числе и теми, которые в современной форме выражаются как

   Индийцы также знали формулы для кратных углов , , где .

   Тригонометрия необходима для астрономических расчётов, которые оформляются в виде таблиц. Первая таблица синусов имеется в «Сурья-сиддханте» и у Ариабхаты. Позднее учёные составили более подробные таблицы: например, Бхаскара приводит таблицу синусов через 1°.

   Южноиндийские математики в 16 веке добивались больших успехов в области суммирования бесконечных числовых рядов. По-видимому, они занимались этими исследованиями, когда искали способы вычисления более точных значений числа π. Нилаканта словесно приводит правила разложения арктангенса в бесконечный степенной ряд. А в анонимном трактате «Каранападдхати» («Техника вычислений») даны правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды. Нужно сказать, что в Европе к подобным результатам подошли лишь в 17-18 вв. Так, ряды для синуса и косинуса вывел Исаак Ньютон около 1666 г., а ряд арктангенса был найден Дж. Грегори в 1671 г. и Г. В. Лейбницем в 1673 г.

   В 8 в. учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами индийских математиков и астрономов и перевели их на арабский язык. В середине 9 века среднеазиатский учёный аль-Хорезми написал сочинение «Об индийском счёте». После того как арабские трактаты были переведены на латынь, многие идеи индийских математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки.

   См. также

   Примечания

   
   

   Wikimedia Foundation . 2010 .

   Смотреть что такое "Тригонометрия" в других словарях:

   Тригонометрия … Орфографический словарь-справочник

   - (греч., от tri, gonia угол, и metron мера). Часть математики, занимающаяся измерением треугольников. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ТРИГОНОМЕТРИЯ греч., от trigonon, треугольник, и metreo, меряю.… … Словарь иностранных слов русского языка

   Современная энциклопедия

   Тригонометрия - (от греческого trigonon треугольник и...метрия), раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Отдельные задачи тригонометрии решались астрономами Древней Греции (3 в. до нашей эры);… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

   - (от греч. trigonon треугольник и...метрия) раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии … Большой Энциклопедический словарь

   Facebook

   Twitter

   Вконтакте

   Одноклассники

   Google+