Как найти корни на промежутке в тригонометрии. Тригонометрическая окружность
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тип урока : Урок повторения, обобщения и систематизации изученного материала.
Цель урока:
- образовательная: закрепить умение выполнять отбор корней тригонометрического уравнения на числовой окружности; стимулировать учащихся к овладению рациональными приёмами и методами решения тригонометрических уравнений;
- развивающая: развивать логическое мышление, умение выделять главное, проводить обобщение, делать верные логические выводы;
- воспитательная: воспитание таких качеств характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемной ситуации.
Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер.
Ход урока
I. Организационный момент.
Проверка готовности к уроку, приветствие.
II. Постановка цели.
Французский писатель Анатоль Франс однажды сказал: «…Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом.» Так давайте сегодня последуем этому мудрому совету и будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в ближайшее время на ЕГЭ.
Сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать навыки отбора корней в тригонометрических уравнениях с помощью числовой окружности. Окружность удобно использовать как при отборе корней на промежутке, длина которого не превышает 2π, так и в случае, когда значения обратных тригонометрических функций не являются табличными. При выполнении заданий будем применять не только изученные методы и способы, но и нестандартные подходы.
III. Актуализация опорных знаний.
1. Решите уравнение: (Слайд 3-5)
a) cosx = 0
б) cosx = 1
в) cosx = - 1
г) sinx = 1
д) sinx = 0
е) sinx = - 1
ж) tgx = 1
з) tgx = 0
2. Заполните пропуски: (Слайд 6)
sin2x =
cos2x =
1/cos 2 x – 1=
sin(π/2 – x) =
sin(x – π/2) =
cos(3π/2 – 2x) =
3. Покажите на числовой окружности следующие отрезки (Слайд 7) [- 7π/2; -2π], [-π; π/2], [π; 3π], , [-2π; -π/2], [-3π/2; -π/2], [-3π; -2π],, [-4π; -5π/2].
4. Применяя теорему Виета и её следствия, найдите корни уравнений: (Слайд 8)
t 2 -2t-3=0; 2t 2 -3t-3=0; t 2 +4t-5=0; 2t 2 +t-1=0; 3t 2 +7t=4=0; 2t 2 -3t+1=0
IV. Выполнение упражнений.
(Слайд 9)
Многообразие методов преобразований тригонометрических выражений подталкивает нас к выбору более рационального из них.
1. Решите уравнения : (Один ученик решает на доске. Остальные участвуют в выборе рационального метода решения и записывают в тетрадь. Учитель следит за верностью рассуждений учащихся. )
1) 2sin 3 x-2sinx+cos 2 x=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-7π/2; - 2π].
Решение.
[-7π/2; -2π]
Получим числа: - 7π/2; -19π/6;-5π/2.
Ответ: а) π /2+ πn , π /6+2 πn , 5 π /6+2 πn , n Є Z ; б) - 7π/2, -19π/6,-5π/2.
2) sin 2 x-2sinx∙cosx-3cos 2 x=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-π; π/2].
Решение.
a ) Разделим обе части уравнения на cos 2 x =0. Получим:
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-π; π/2]
Получим числа: - π+ arctg 3 ; -π/4; arctg 3.
Ответ: а) - π /4+ πn , arctg 3+ πn , n Є Z ; б) - π+ arctg 3 , -π/4, arctg 3.
3) 2sin 2 x-3cosx-3=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [π; 3π].
Решение.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [π; 3π]
Получим числа: π; 4π/3; 8π/3; 3π.
Ответ: а) π +2 πn , ±2 π /3+2 πn , n Є Z ; б) π, 4π/3, 8π/3, 3π.
4) 1/cos2x +4tgx - 6=0 .Укажите корни, принадлежащие отрезку [2π ;7π/2] .
Решение.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [; 7π/2]
Получим числа: 9π/4; 3π- arctg 5;1 3π/4.
Ответ: а) π /4+ πn , - arctg 5+ πn , n Є Z ; б) 9π/4, 3π- arctg 5, 1 3π/4.
5) 1/cos 2 x + 1/sin(x – π/2) = 2. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-2π; -π/2].
Решение.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-2 π; -π/2]
Получим числа: -5π/3;- π .
Ответ: а) π +2 πn , ± π /3+2 πn , n Є Z ; б) -5π/3;- π .
2. Работа в парах : (Двое учащихся работают на боковых досках, остальные в тетрадях. Затем задания проверяются и анализируются.)
Решите уравнения:
Решение .
Учитывая, что tgx ≠1 и tgx >0, отберём корни с помощью числовой окружности. Получим:
x = arccos √2/3+2 πn , n Є Z .
Ответ: arccos √2/3+2 πn , n Є Z .
6соs2x-14 cos 2 x - 7sin2x = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-3π/2; - π/2].
Решение.
a ) 6(cos 2 x - sin 2 x )-14 cos 2 x -14 cosxsinx =0; 6 cos 2 x -6 sin 2 x -14 cos 2 x -14 cosxsinx =0;
3 sin 2 x +7 cosxsinx +4 cos 2 x =0 Разделим обе части уравнения на cos 2 x=0. Получим:
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-3π/2; -π/2]
Получим числа: -5 π /4;- π - arctg 4/3.
Ответ: а) - π /4+ πn , - arctg 4/3+ πn , n Є Z ; б) -5π/4, - π - arctg 4/3.
3. Самостоятельная работа . (После выполнения работы учащиеся обмениваются тетрадями и проверяют работу своего одноклассника, исправляя ошибки (если таковы есть) ручкой с красной пастой.)
Решите уравнения:
1) 2cos 2 x+(2-√2)sinx+√2-2=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-3π; -2π].
Решение.
a ) 2(1- sin 2 x )+2 sinx -√2 sinx +√2-2=0; 2-2 sin 2 x +2 sinx -√2 sinx +√2-2=0; -2 sinx (sinx -1)-√2(sinx -1)=0;
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-3π; -2π].
Получим числа: -11 π /4;-9 π /4.
Ответ: а) π /2+2 πn , - π /4+2 πn , -3 π /4+2 πn , n Є Z ; б) -11π/4, -9 π /4 .
2) cos(3π/2-2x)=√2sinx. Укажите корни, принадлежащие отрезку
Решение.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку .
Получим числа: 13 π /4;3 π ;4 π .
Ответ: а) πn , ±3 π /4+2 πn , n Є Z ; б) 13 π /4,3 π , 4 π .
3)1/tg 2 x – 3/sinx+3=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-4π; -5π/2]
Решение.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-4π;-5π/2].
Получим числа: -19 π /6;-7 π /2;-23 π /6.
Ответ: а) π /2+2 πn , π /6+2 πn , 5 π /6+2 πn , n Є Z ; б) -19 π /6,-7 π /2,-23 π /6.
V. Подведение итогов урока.
Отбор корней в тригонометрических уравнениях требует хороших знаний формул, умений применять их на практике, требует внимания и сообразительности.
VI. Стадия рефлексии.
(Слайд 10)
На этапе рефлексии учащимся предлагается составить синквейн и в поэтической форме
выразить своё отношение к изучаемому материалу.
Например:
Окружность.
Числовая, тригонометрическая.
Изучим, поймем, заинтересуемся.
Присутствует в ЕГЭ.
Реальность.
VII. Домашнее задани e .
1. Решите уравнения:
2. Практическое задание.
Составьте по два тригонометрических уравнения, содержащих формулы двойного аргумента.
VIII. Литература.
ЕГЭ-2013: Математика: самое полное издание типовых вариантов заданий/ авт.-сост. И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий; под ред. А.Л. Семёнова, И.В. Ященко – М.:АСТ: Астрель, 2013.
Простейшие тригонометрические уравнения решаются, как правило, по формулам. Напомню, что простейшими называются вот такие тригонометрические уравнения:
sinx = а
cosx = а
tgx = а
ctgx = а
х - угол, который нужно найти,
а - любое число.
А вот и формулы, с помощью которых можно сразу записать решения этих простейших уравнений.
Для синуса:
Для косинуса:
х = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Для тангенса:
х = arctg a + π n, n ∈ Z
Для котангенса:
х = arcctg a + π n, n ∈ Z
Собственно, это и есть теоретическая часть решения простейших тригонометрических уравнений. Причём, вся!) Совсем ничего. Однако, количество ошибок по этой теме просто зашкаливает. Особенно, при незначительном отклонении примера от шаблона. Почему?
Да потому, что масса народу записывает эти буковки, не понимая их смысла совершенно! С опаской записывает, как бы чего не вышло...) С этим надо разобраться. Тригонометрия для людей, или люди для тригонометрии, в конце концов!?)
Разберёмся?
Один угол у нас будет равен arccos a, второй: -arccos a.
И так будет получаться всегда. При любом а.
Если не верите, наведите курсор мышки на картинку, или коснитесь рисунка на планшете.) Я изменил число а на какое-то отрицательное. Всё равно, один угол у нас получился arccos a, второй: -arccos a.
Следовательно, ответ можно всегда записать в виде двух серий корней:
х 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
х 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Объединяем эти две серии в одну:
х= ± arccos а + 2π n, n ∈ Z
И все дела. Получили общую формулу для решения простейшего тригонометрического уравнения с косинусом.
Если вы понимаете, что это не какая-то сверхнаучная мудрость, а просто сокращённая запись двух серий ответов, вам и задания "С" будут по плечу. С неравенствами, с отбором корней из заданного интервала... Там ответ с плюсом/минусом не катит. А если отнестись к ответу делово, да разбить его на два отдельных ответа, всё и решается.) Собственно, для этого и разбираемся. Что, как и откуда.
В простейшем тригонометрическом уравнении
sinx = а
тоже получается две серии корней. Всегда. И эти две серии тоже можно записать одной строчкой. Только эта строчка похитрее будет:
х = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Но суть остаётся прежней. Математики просто сконструировали формулу, чтобы вместо двух записей серий корней, сделать одну. И всё!
Проверим математиков? А то мало ли...)
В предыдущем уроке подробно разобрано решение (безо всяких формул) тригонометрического уравнения с синусом:
В ответе получились две серии корней:
х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Если мы будем решать это же уравнение по формуле, получим ответ:
х = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
Вообще-то, это недоделанный ответ.) Ученик обязан знать, что arcsin 0,5 = π /6. Полноценный ответ будет:
х = (-1) n π /6 + π n, n ∈ Z
Тут возникает интересный вопрос. Ответ через х 1 ; х 2 (это правильный ответ!) и через одинокий х (и это правильный ответ!) - одно и то же, или нет? Сейчас узнаем.)
Подставляем в ответ с х 1 значения n =0; 1; 2; и т.д., считаем, получаем серию корней:
х 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 и так далее.
При такой же подстановке в ответ с х 2 , получаем:
х 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 и так далее.
А теперь подставляем значения n (0; 1; 2; 3; 4...) в общую формулу для одинокого х . Т.е возводим минус один в нулевую степень, затем в первую, вторую, и т.д. Ну и, разумеется, во второе слагаемое подставляем 0; 1; 2 3; 4 и т.д. И считаем. Получаем серию:
х = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 и так далее.
Вот всё и видно.) Общая формула выдаёт нам точно такие же результаты, что и два ответа по отдельности. Только все сразу, по порядочку. Не обманули математики.)
Формулы для решения тригонометрических уравнений с тангенсом и котангенсом тоже можно проверить. Но не будем.) Они и так простенькие.
Я расписал всю эту подстановку и проверку специально. Здесь важно понять одну простую вещь: формулы для решения элементарных тригонометрических уравнений есть, всего лишь, краткая запись ответов. Для этой краткости пришлось вставить плюс/минус в решение для косинуса и (-1) n в решение для синуса.
Эти вставки никак не мешают в заданиях, где нужно просто записать ответ элементарного уравнения. Но если надо решать неравенство, или далее нужно что-то делать с ответом: отбирать корни на интервале, проверять на ОДЗ и т.п, эти вставочки могут запросто выбить человека из колеи.
И что делать? Да либо расписать ответ через две серии, либо решать уравнение/неравенство по тригонометрическому кругу. Тогда исчезают эти вставочки и жизнь становится легче.)
Можно подвести итоги.
Для решения простейших тригонометрических уравнений существуют готовые формулы ответов. Четыре штуки. Они хороши для мгновенной записи решения уравнения. Например, надо решить уравнения:
sinx = 0,3
Легко: х = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Без проблем: х = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Запросто: х = arctg 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Одной левой: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1,8
Если вы, блистая знаниями, мгновенно пишете ответ:
х= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z
то блистаете вы уже, это... того... из лужи.) Правильный ответ: решений нет. Не понимаете, почему? Прочитайте, что такое арккосинус. Кроме того, если в правой части исходного уравнения стоят табличные значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 и т.п. - ответ через арки будет недоделанным. Арки нужно обязательно перевести в радианы.
А если уж вам попалось неравенство, типа
то ответ в виде:
х πn, n ∈ Z
есть редкая ахинея, да...) Тут надо по тригонометрическому кругу решать. Чем мы и займёмся в соответствующей теме.
Для тех, кто героически дочитал до этих строк. Я просто не могу не оценить ваши титанические усилия. Вам бонус.)
Бонус:
При записи формул в тревожной боевой обстановке, даже закалённые учёбой ботаны частенько путаются, где πn, а где 2π n. Вот вам простой приёмчик. Во всех формулах стоит πn. Кроме единственной формулы с арккосинусом. Там стоит 2πn. Два пиэн. Ключевое слово - два. В этой же единственной формуле стоят два знака в начале. Плюс и минус. И там, и там - два.
Так что, если вы написали два знака перед арккосинусом, легче вспомнить, что в конце будет два пиэн. А ещё наоборот бывает. Пропустит человек знак ± , доберётся до конца, напишет правильно два пиэн, да и спохватится. Впереди-то два знака! Вернётся человек к началу, да ошибку-то и исправит! Вот так.)
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
По вашим просьбам!
13. Решите уравнение 3-4cos 2 x=0. Найдите сумму его корней, принадлежащих промежутку .
Понизим степень косинуса по формуле: 1+cos2α=2cos 2 α. Получаем равносильное уравнение:
3-2(1+cos2x)=0 ⇒ 3-2-2cos2x=0 ⇒ -2cos2x=-1. Делим обе части равенства на (-2) и получаем простейшее тригонометрическое уравнение:
14. Найдите b 5 геометрической прогрессии, если b 4 =25 и b 6 =16.
Каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов:
(b n) 2 =b n-1 ∙b n+1 . У нас (b 5) 2 =b 4 ∙b 6 ⇒ (b 5) 2 =25·16 ⇒ b 5 =±5·4 ⇒ b 5 =±20.
15. Найдите производную функции: f(x)=tgx-ctgx.
16. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y(x)=x 2 -12x+27
на отрезке .
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке , нужно найти значения этой функции на концах отрезка и в тех критических точках, которые принадлежат данному отрезку, а затем из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Найдем значения функции при х=3 и при х=7, т.е. на концах отрезка.
y(3)=3 2 -12∙3+27 =9-36+27=0;
y(7)=7 2 -12∙7+27 =49-84+27=-84+76=-8.
Находим производную данной функции: y’(x)=(x 2 -12x+27)’ =2x-12=2(x-6); критическая точка х=6 принадлежит данному промежутку . Найдем значение функции при х=6.
y(6)=6 2 -12∙6+27 =36-72+27=-72+63=-9. А теперь выбираем из трех полученных значений: 0; -8 и -9 наибольшее и наименьшее: у наиб. =0; у наим. =-9.
17. Найдите общий вид первообразных для функции:
Данный промежуток – это область определения данной функции. Ответы должны начинаться с F(x), а не с f(x) – ведь мы ищем первообразную. По определению функция F(x) является первообразной для функции f(x), если выполняется равенство: F’(x)=f(x). Так что можно просто находить производные предложенных ответов, пока не получится данная функция. Строгое решение – это вычисление интеграла от данной функции. Применяем формулы:
19. Составьте уравнение прямой, содержащей медиану BD треугольника АВС, если его вершины А(-6; 2), В(6; 6) С(2; -6).
Для составления уравнения прямой нужно знать координаты 2-х точек этой прямой, а нам известны координаты только точки В. Так как медиана BD делит противолежащую сторону пополам, то точка D является серединой отрезка АС. Координаты середины отрезка есть полусуммы соответственных координат концов отрезка. Найдем координаты точки D.
20. Вычислить:
24. Площадь правильного треугольника, лежащего в основании прямой призмы, равна
Эта задача — обратная к задаче № 24 из варианта 0021.
25. Найдите закономерность и вставьте недостающее число: 1; 4; 9; 16; …
Очевидно, что это число 25 , так как нам дана последовательность квадратов натуральных чисел:
1 2 ; 2 2 ; 3 2 ; 4 2 ; 5 2 ; …
Всем удачи и успехов!
Данная статья может помочь учащимся старших классов, а также учителям при решении тригонометрических уравнений и отборе корней, принадлежащих определенному промежутку. В зависимости от того какие даны ограничения на полученные корни следует использовать различные методы отбора корней, то есть нужно взять тот способ, который более наглядно покажет правильный результат.
Просмотр содержимого документа
«СПОСОБЫ ОТБОРА КОРНЕЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»
СПОСОБЫ ОТБОРА КОРНЕЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Попова Татьяна Сергеевна, учитель математики, информатики, физики МКОУ БГО Петровская СОШ
В ЕГЭ по математике входят задания, связанные с решением уравнений. Встречаются уравнения линейные, квадратные, рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические. Эти уравнения требуется: во-первых, решить, то есть найти их все решения, во-вторых, осуществить отбор корней, принадлежащие тому или иному промежутку. В этой статье рассмотрим пример решения тригонометрического уравнения и отбор его корней различными способами. В зависимости от того какие даны ограничения на полученные корни следует использовать различные методы отбора корней, то есть нужно взять тот способ, который более наглядно покажет правильный результат.
Рассмотрим три способа отбора корней:
С помощью единичной окружности;
С помощью неравенств;
С помощью графика.
На конкретном примере разберем эти способы.
Пусть дано следующее задание:
а) Решите уравнение
б)Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.
Вначале решим данное уравнение:
Используя формулу двойного угла и формулы привидения, получим:
Отсюда, или. Решая каждое уравнение, получим:
;
или
.
б) Производить отбор корней можно с помощью единичной окружности (рис.1), но дети путаются, так как заданный промежуток может быть больше длины окружности и его при нанесении на окружность трудно изобразить:
Получим числа:
Можно воспользоваться методом неравенств. Заметим, что если дан отрезок, то неравенство нестрогое, а если интервал, то неравенство строгое. Проверим каждый корень
С учетом того, что -3,-2. Подставим n в формулу корней, получим корни ; x =
Аналогично найдем корни для,
k – целых нет,
1, подставим в общий корень
Получили точно такие же корни как с помощью единичной окружности.
Пусть этот метод более громоздкий, но на собственном опыте, занимаясь решением таких уравнений и отбором корней с учениками, мы заметили, что методом неравенств школьники делают меньше ошибок.
Рассмотрим на этом же примере отбор корней уравнения с помощью графика (рис.2)
Также получаем три корня:
Нужно научить детей пользоваться всеми тремя методами отбора корней, а потом пусть сами решают как им проще и какой метод ближе. Также можно проверять себя в правильности решения, используя разные способы.
Используемая литература:
http://yourtutor.info
http://www.ctege.info/zadaniya-ege-po-matematike
Статьи по теме
