,
,
…,
множества
всех последовательностей элементов
множества X
операция f
будет
определяться следующим образом:
Числовая последовательность. Последовательности натуральных чисел
4.1 Примеры
4.2 Свойства
7.1 Ограниченные и неограниченные последовательности
7.1.1 Критерий ограниченности числовой последовательности
7.1.2 Свойства ограниченных последовательностей
7.2.1 Свойства бесконечно малых последовательностей
7.3.1 Свойства сходящихся последовательностей
1 Определение
2 Примеры
3 Операции над последовательностями
4 Подпоследовательности
5 Предельная точка последовательности
6 Предел последовательности
7 Некоторые виды последовательностей
7.2 Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
7.3 Сходящиеся и расходящиеся последовательности
7.4 Монотонные последовательности
7.5 Фундаментальные последовательности
Числовая последовательность - это последовательность элементов числового пространства.
Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе .
Определение
Пусть множество X - это либо множество вещественных чисел , либо множество комплексных чисел . Тогда последовательность элементов множества X называется числовой последовательностью .
Примеры
Операции над последовательностями
На множестве всех последовательностей элементов множества X можно определить арифметические и другие операции , если таковые определены на множестве X . Такие операции обычно определяют естественным образом, т. е. поэлементно.
|
Пусть на множестве X определена N -арная операция f : Тогда
для элементов
|
Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.
Суммой x n ) и (y n z n ) такая, что z n = x n + y n .
Разностью числовых последовательностей (x n ) и (y n ) называется числовая последовательность (z n ) такая, что z n = x n − y n .
Произведением числовых последовательностей x n и y n называется числовая последовательность (z n ) такая, что .
Частным
числовой последовательности x
n
и числовой последовательности y
n
,
все элементы которой отличным от нуля
,
называется числовая последовательность
.
Если в последовательности y
n
на позиции
всё
же имеется нулевой элемент, то результат
деления на такую последовательность
всё равно может быть определён, как
последовательность
.
Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца .
Подпоследовательности
Подпоследовательность последовательности (x n ) - это последовательность , где (k n ) - возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.
Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.
Примеры
Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.
Последовательность натуральных чисел, кратных 12 , является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.
Свойства
Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.
Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.
Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.
Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.
Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.
Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.
Предельная точка последовательности
Основная статья : Предельная точка
Предельная точка последовательности - это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом .
Предел последовательности
Основная статья : Предел последовательности
Предел последовательности - это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел - это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.
Частичный предел последовательности - это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.
Верхний предел последовательности - это наибольшая предельная точка этой последовательности.
Нижний предел последовательности - это наименьшая предельная точка этой последовательности.
Некоторые виды последовательностей
Стационарная последовательность - это последовательность, все члены которой, начиная с некоторого, равны.
(x n ) стационарная
Ограниченные и неограниченные последовательности
В предположении о линейной упорядоченности множества X элементов последовательности можно ввести понятия ограниченных и неограниченных последовательностией.
Ограниченная сверху последовательность X , все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности.
(x n ) ограниченная сверху
Ограниченная снизу последовательность - это последовательность элементов множества X , для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности.
(x n ) ограниченная снизу
Ограниченная последовательность (ограниченная с обеих сторон последовательность ) - это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу.
(x n ) ограниченная
Неограниченная последовательность - это последовательность, которая не является ограниченной.
(x n ) неограниченная
Критерий ограниченности числовой последовательности
Числовая последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число, что модули всех членов последовательности не превышают его.
(x n ) ограниченная
Свойства ограниченных последовательностей
Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
Бесконечно малая последовательность - это последовательность, предел которой равен нулю .
Бесконечно большая последовательность - это последовательность, предел которой равен бесконечности .
Свойства бесконечно малых последовательностей
Бесконечно малые последовательности отличаются целым рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе , а также в смежных с ним и более общих дисциплинах.
Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Любая бесконечно малая последовательность ограничена.
Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.
Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы - нули.
Если (x n ) - бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность (1 / x n ), которая является бесконечно малой. Если же (x n ) всё же содержит нулевые элементы, то последовательность (1 / x n n , и всё равно будет бесконечно малой.
Если (α n ) - бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность (1 / α n ), которая является бесконечно большой. Если же (α n ) всё же содержит нулевые элементы, то последовательность (1 / α n ) всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n , и всё равно будет бесконечно большой.
Сходящиеся и расходящиеся последовательности
Сходящаяся последовательность - это последовательность элементов множества X , имеющая предел в этом множестве.
Расходящаяся последовательность - это последовательность, не являющаяся сходящейся.
Свойства сходящихся последовательностей
Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю .
Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.
Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.
Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.
Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.
Если последовательность (x n ) сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность (1 / x n ), которая является ограниченной.
Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.
Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.
Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.
Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.
Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.
Любую сходящуюся последовательность (x n ) можно представить в виде (x n ) = (a + α n ), где a - предел последовательности (x n ), а α n - некоторая бесконечно малая последовательность.
Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной . При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).
Монотонные последовательности
Основная статья :
Монотонная последовательность - это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. При этом предполагается, что на множестве, из которого берутся элементы последовательности, введено отношение порядка .
Фундаментальные последовательности
Основная статья :
Фундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность , последовательность Коши ) - это последовательность элементов метрического пространства , в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.
Последовательность Числовой рядРеферат >> Математика
Ва сходящихся рядов Числовой ряд - бесконечная последовательность чисел соединенная знаком... поток событий Поток событий- последовательность событий которые наступают в случайные... -ва: 1. F(x) определена на всей числовой прямой R; 2.F(x) не убывает, т.е. ...
Натуральное число является количественной характеристикой одного неизменного множества, однако, на практике количество предметов постоянно меняется, например, поголовье скота в некотором хозяйстве. Более того, простейшая, но и важнейшая последовательность сразу же возникает в процессе счёта – это последовательность натуральных чисел: 1, 2, 3, ….
Если изменение количества предметов в некоторой совокупности зафиксировано в виде некоторой последовательности натуральных чисел (членов последовательности), тут же естественным образом возникает ещё одна последовательность – последовательность номеров, например
В связи с этим возникает проблема обозначения членов последовательности. Обозначение каждого члена особой буквой крайне неудобно по следующим причинам. Во-первых, последовательность может содержать очень большое, или даже бесконечное число членов. Во-вторых, разные буквы скрывают тот факт, что члены последовательности относятся к одной совокупности, хотя и меняющей количество элементов. Наконец, в этом случае не будут отражены номера членов в последовательности.
Эти причины заставляют обозначать члены последовательности одной буквой и различать их по индексу. Например, последовательность, состоящую из десяти членов, можно обозначить буквой а : а 1 , а 2 , а 3 , …, а 10 . Тот факт, что последовательность является бесконечной, выражается многоточием, как бы неограниченно продлевающим эту последовательность: а 1 , а 2 , а 3 , … Иногда последовательность начинают нумеровать с нуля: : а 0 , а 1 , а 2 , а 3 , …
Некоторые последовательности могут восприниматься как случайные наборы чисел, поскольку не известен, или вообще отсутствует, закон формирования членов последовательности. Однако особое внимание привлекают последовательности, для которых такой закон известен.
Для указания закона формирования членов последовательности чаще всего используются два способа. Первый из них состоит в следующем. Задается первый член, а затем указывается способ, согласно которому с помощью последнего, уже известного члена получается следующий. Для записи закона используется член последовательности с неопределённым номером, например, а k и следующий за ним член а k +1 , после чего записывается связывающая их формула.
Наиболее известными и важными примерами могут послужить арифметическая и геометрическая прогрессии. Арифметическая прогрессия определяется формулой а k +1 = а k + r (либо а k +1 = а k – r ). Члены арифметической прогрессии либо равномерно растут (лесенкой), либо равномерно убывают (тоже лесенкой). Величина r называется разностью прогрессии, поскольку а k +1 – а k = r . Примерами арифметических прогрессий с натуральными членами являются
а) натуральные числа (а 1 = 1 ;а k +1 = а k + 1 );
б) бесконечная последовательность 1, 3, 5, 7, … (а 1 = 1 ;а k +1 = а k + 2 );
в) конечная последовательность 15, 12, 9, 6, 3 (а 1 = 15 ;а k +1 = а k –3 ).
Геометрическая прогрессия определяется формулой b k +1 = b k ∙q . Величина q называется знаменателем геометрической прогрессии, поскольку b k +1:b k = q . Геометрические прогрессии с натуральными членами и знаменателем, превосходящим единицу, растут и растут быстро, даже лавинообразно. Примерами геометрических прогрессий с натуральными членами являются
а) бесконечная последовательность 1, 2, 4, 8, … (b 1 = 1 ;b k +1 = b k ∙2 );
б) бесконечная последовательность 3, 12, 48, 192, 768,… (b 1 = 3 ;b k +1 = b k ∙4 ).
Второй способ указания закона определения членов последовательности состоит в указании формулы, позволяющей вычислить член последовательности с неопределённым номером (общий член), например, а k , с помощью номера k .
Члены арифметической и геометрической прогрессий можно вычислять и этим способом. Поскольку арифметическая прогрессия определяется формулой а k +1 = а k + r , легко понять, как выражается член а k с помощью номера k :
а 1
– определён произвольно;
а 2 = а 1 + r= а 1 + 1∙r ;
а 3 = а 2 + r = а 1 + r + r = а 1 + 2∙r ;
а 4 = а 3 + r = а 1 + 2∙r + r = а 1 + 3∙r ;
…………………………………
а k = а 1 + (k –1)∙r – итоговая формула.
Для геометрической прогрессии аналогичным способом выводится формула общего члена: b k = b 1 ∙ q k –1 .
Кроме арифметической и геометрической прогрессий таким же способом можно определить другие последовательности, имеющие особый характер изменения. В качестве примера приведём последовательность квадратов натуральных чисел: s k = k 2: 1 2 = 1, 2 2 = 4, 3 2 = 9, 4 2 = 16, 5 2 = 25…
Существуют более сложные способы образования последовательностей, например, одна строится с помощью другой. Особое значение для арифметики имеет геометрическая прогрессия, определяемая параметрами b 1 = 1, q = 10, то есть последовательность степеней десятки: 1 = 10 0 , 10 = 10 1 , 10 2 , 10 3 , …, 10 k , … Она используется для представления натуральных чисел в позиционной системе счисления. При этом для каждого натурального числа n возникает последовательность, состоящая из цифр, с помощью которых записывается данное число: а n а n – 1 … а 2 а 1 а 0 . Цифра а k указывает сколько слагаемых типа 10 k содержит число n .
Понятие последовательности подводит к важнейшим для математики понятиям величины и функции. Величина – это изменяющаяся числовая характеристика какого-то предмета или явления. Её изменение воспринимается как последовательность чисел. Существование зависимости между самими членами и их номерами, а также её выражение с помощью формул вплотную подводит к понятию функции.
10. Десятичная система счисления.Важнейшим математическим открытием, которое используется практически каждым членом достаточно развитого общества, является позиционная система счисления. Она позволила решить основную проблему счёта, состоящую в умении называть все новые и новые числа, используя обозначения (цифры) только для нескольких первых чисел.
Позиционная система счисления традиционно связана с числом десять, но на тех же принципах можно построить и иные системы, например, двоичную. При построении десятичной позиционной системы счисления вводятся десять арабских цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С их помощью может быть записано число, выражающее количество предметов любого конечного множества. Для этой цели используется специальный алгоритм, то есть чётко определённая последовательность элементарных действий.
Пересчитываемые предметы объединяются в группы по десять, что соответствует делению на десять с остатком. В результате образуются два множества – единиц и десятков. Десятки снова группируются по десять в сотни. Ясно, что число десятков (обозначим его через а 1 ) обязательно меньше десяти, и, значит, а 1 можно обозначить цифрой. Далее сотни группируются в тысячи, тысячи – в десятки тысяч и т. д. пока все предметы не будут сгруппированы. Построение числа завершается тем, что слева направо записываются полученные цифры от больших индексов к меньшим. Цифре а k соответствуют количество групп предметов по 10 k . Итоговая запись числа состоит из конечной последовательности цифр а n а n – 1 … а 2 а 1 а 0 . Соответствующее число равно выражению
а n ·10 n + а n – 1 ·10 n – 1 + … + а 2 ·10 2 + а 1 ·10 1 + а 0 ·10 0 .
Слово «позиционная» в названии системы счисления связано с тем, что цифра меняет свой смысл в зависимости от своей позиции в записи числа. Последняя цифра задаёт число единиц, предпоследняя – число десятков и т. д.
Отметим, что алгоритм для получения записи чисел в системе счисления с любым основанием N : состоит в последовательной группировке предметов по N штук. При записи числа необходимо использовать N цифр.
Рассмотрим некоторое множество (класс) множеств , каждое из которых содержит по одному элементу. Любое натуральное число – это характеристика класса равносильных конечных множеств, тогда поставим в соответствие этому классу натуральное число «единица» и обозначим его символом «1». Выберем из данного класса любое «единичное» множество, пусть , и добавим в это множество еще один элемент, получим новое множество . Если образовать класс конечных множеств, равносильных множеству , то новому классу поставим в соответствие натуральное число «два» и обозначим его символом «2». Дальнейшее продолжение этого бесконечного процесса образования новых конечных множеств и соответствующих им классов приводит к образованию двух бесконечных последовательностей:
(а) бесконечной последовательности множеств (1); каждое из этих множеств служит представителем соответствующего класса;
(b) бесконечной последовательности натуральных чисел 1;2;3;…r …(2), каждое из этих чисел являются характеристикой соответствующего класса.
Сравнение последовательностей (1) и (2) приводит к следующим выводам:
1). В (1) есть начальный элемент и в (2) есть начальный элемент 1;
2). В (1) за каждым множеством непосредственно следует единственное множество, в котором на один элемент больше, чем в множестве предыдущего класса, поэтому в (2) за каждым натуральным числом непосредственно следует только одно натуральное число, большее предыдущего на единицу.
3). В (1) каждый класс, кроме начального, непосредственно следует только за одним классом, поэтому в (2) каждое натуральное число, кроме единицы, непосредственно следует только за одним натуральным числом.
4). В (1) каждое множество данного класса является либо подмножеством любого множества следующего за ним класса, либо равносильно подмножеству любого множества следующего за ним класса, поэтому в (2) натуральные числа расположены так, что каждое из них меньше любого, следующего за ним: 1<2<3<…..<n <n+ 1<… (3).
Опираясь нам основные положения метода математической индукции, можно утверждать, что (2) – это последовательность натуральных чисел.
3. Использование последовательности натуральных чисел для определения численности конечного множества.
Определить численность конечного множества – это значит сосчитать количество элементов в этом множестве, для такого подсчета используется понятие отрезка .
Опр. 4. Отрезком последовательности (2) называется множество первых натуральных чисел последовательности (2), не превосходящих числа «n ».
Пример
. 
.
Для определение численности, например, множества приведем последовательность его элементов во взаимно однозначное соответствие с элементами отрезка :
. Так как , то множеству К
можно поставить в соответствие число «6», это число называют числом элементов множества K: n(K)=6,
говорят, что число «6» выражает численность множества К.
Опр . 5. Счетом элементов множества называется процесс приведения во взаимно однозначное соответствие элементов множества К с элементами отрезка натурального ряда .
При пересчете элементов конечного множества натурального ряда чисел выясняется не только количество элементов множества, но и определяется порядок расположения элементов в множестве. В первом случае натуральное число «n» показывает, сколько элементов содержит множество, «n» - называется количественным числом. Во втором случае натуральное число «n» представляет собой порядковый номер некоторого элемента множества, оно называется порядковым числом.
4. Операция сложения чисел в множестве N .
В множестве N натуральных чисел, кроме отношений равенства и неравенства, вводятся ряд операций. Каждую из операций можно ввести теорию на основе теории множеств.
Опр .6 . Суммой двух данных натуральных чисел
называется натуральное число , где .
5) , - свойство монотонности суммы (при сложении неравных чисел получаем неравные числа того же смысла).
Приводится определение числовой последовательности. Рассмотрены примеры неограниченно возрастающих, сходящихся и расходящихся последовательностей. Рассмотрена последовательность, содержащая все рациональные числа.
Определение
.
Числовой последовательностью {
x n }
называется закон (правило), согласно которому, каждому натуральному числу n = 1, 2, 3, . . .
ставится в соответствие некоторое число x n
.
Элемент x n
называют n-м членом или элементом последовательности.
Последовательность обозначается в виде n
-го члена, заключенного в фигурные скобки: .
Также возможны следующие обозначения: .
В них явно указывается, что индекс n
принадлежит множеству натуральных чисел и сама последовательность имеет бесконечное число членов. Вот несколько примеров последовательностей:
,
,
.
Другими словами числовая последовательность - это функция, областью определения которой является множество натуральных чисел. Число элементов последовательности бесконечно. Среди элементов могут встречаться и члены, имеющие одинаковые значения. Также последовательность можно рассматривать как нумерованное множество чисел, состоящее из бесконечного числа членов.
Главным образом нас будет интересовать вопрос - как ведут себя последовательности, при n стремящемся к бесконечности: . Этот материал излагается в разделе Предел последовательности – основные теоремы и свойства . А здесь мы рассмотрим несколько примеров последовательностей.
Примеры последовательностей
Примеры неограниченно возрастающих последовательностей
Рассмотрим последовательность .
Общий член этой последовательности .
Выпишем несколько первых членов:
.
Видно, что с ростом номера n
,
элементы неограниченно возрастают в сторону положительных значений. Можно сказать, что эта последовательность стремится к :
при .
Теперь рассмотрим последовательность с общим членом .
Вот ее несколько первых членов:
.
С ростом номера n
,
элементы этой последовательности неограниченно возрастают по абсолютной величине, но не имеют постоянного знака. То есть эта последовательность стремится к :
при .
Примеры последовательностей, сходящихся к конечному числу
Рассмотрим последовательность .
Ее общий член .
Первые члены имеют следующий вид:
.
Видно, что с ростом номера n
,
элементы этой последовательности приближаются к своему предельному значению a = 0
:
при .
Так что каждый последующий член ближе к нулю, чем предыдущий. В каком-то смысле можно считать, что есть приближенное значение для числа a = 0
с погрешностью .
Ясно, что с ростом n
эта погрешность стремится к нулю, то есть выбором n
,
погрешность можно сделать сколь угодно малой. Причем для любой заданной погрешности ε > 0
можно указать такой номер N
,
что для всех элементов с номерами большими чем N
:
,
отклонение числа от предельного значения a
не превзойдет погрешности ε
:
.
Далее рассмотрим последовательность .
Ее общий член .
Вот несколько ее первых членов:
.
В этой последовательности члены с четными номерами равны нулю. Члены с нечетными n
равны .
Поэтому, с ростом n
,
их величины приближаются к предельному значению a = 0
.
Это следует также из того, что
.
Также как и в предыдущем примере, мы можем указать сколь угодно малую погрешность ε > 0
,
для которой можно найти такой номер N
,
что элементы, с номерами большими чем N
,
будут отклоняться от предельного значения a = 0
на величину, не превышающую заданной погрешности. Поэтому эта последовательность сходится к значению a = 0
:
при .
Примеры расходящихся последовательностей
Рассмотрим последовательность со следующим общим членом:
Вот ее первые члены:
.
Видно, что члены с четными номерами:
,
сходятся к значению a 1 = 0
.
Члены с нечетными номерами:
,
сходятся к значению a 2 = 2
.
Сама же последовательность, с ростом n
,
не сходится ни к какому значению.
Последовательность с членами, распределенными в интервале (0;1)
Теперь рассмотрим более интересную последовательность. На числовой прямой возьмем отрезок . Поделим его пополам. Получим два отрезка. Пусть
.
Каждый из отрезков снова поделим пополам. Получим четыре отрезка. Пусть
.
Каждый отрезок снова поделим пополам. Возьмем
.
И так далее.
В результате получим последовательность, элементы которой распределены в открытом интервале (0; 1) . Какую бы мы ни взяли точку из закрытого интервала , мы всегда можем найти члены последовательности, которые окажутся сколь угодно близко к этой точке, или совпадают с ней.
Тогда из исходной последовательности можно выделить такую подпоследовательность, которая будет сходиться к произвольной точке из интервала . То есть с ростом номера n , члены подпоследовательности будут все ближе подходить к наперед выбранной точке.
Например, для точки a = 0
можно выбрать следующую подпоследовательность:
.
= 0
.
Для точки a = 1
выберем такую подпоследовательность:
.
Члены этой подпоследовательности сходятся к значению a = 1
.
Поскольку существуют подпоследовательности, сходящиеся к различным значениям, то сама исходная последовательность не сходится ни к какому числу.
Последовательность, содержащая все рациональные числа
Теперь построим последовательность, которая содержит все рациональные числа. Причем каждое рациональное число будет входить в такую последовательность бесконечное число раз.
Рациональное число r
можно представить в следующем виде:
,
где - целое; - натуральное.
Нам нужно каждому натуральному числу n
поставить в соответствие пару чисел p
и q
так, чтобы любая пара p
и q
входила в нашу последовательность.
Для этого на плоскости проводим оси p и q . Проводим линии сетки через целые значения p и q . Тогда каждый узел этой сетки с будет соответствовать рациональному числу. Все множество рациональных чисел будет представлено множеством узлов. Нам нужно найти способ пронумеровать все узлы, чтобы не пропустить ни один узел. Это легко сделать, если нумеровать узлы по квадратам, центры которых расположены в точке (0; 0) (см. рисунок). При этом нижние части квадратов с q < 1 нам не нужны. Поэтому они не отображены на рисунке.
Итак, для верхней стороны первого квадрата имеем:
.
Далее нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:
.
Нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:
.
И так далее.
Таким способом мы получаем последовательность, содержащую все рациональные числа. Можно заметить, что любое рациональное число входит в эту последовательность бесконечное число раз. Действительно, наряду с узлом , в эту последовательность также будут входить узлы , где - натуральное число. Но все эти узлы соответствуют одному и тому же рациональному числу .
Тогда из построенной нами последовательности, мы можем выделить подпоследовательность (имеющую бесконечное число элементов), все элементы которой равны наперед заданному рациональному числу. Поскольку построенная нами последовательность имеет подпоследовательности, сходящиеся к различным числам, то последовательность не сходится ни к какому числу.
Заключение
Здесь мы дали точное определение числовой последовательности. Также мы затронули вопрос о ее сходимости, основываясь на интуитивных представлениях. Точное определение сходимости рассматривается на странице Определение предела последовательности . Связанные с этим свойства и теоремы изложены на странице
Функция a n =f (n) натурального аргумента n (n=1; 2; 3; 4;...) называется числовой последовательностью.
Числа a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;…, образующие последовательность, называются членами числовой последовательности. Так a 1 =f (1); a 2 =f (2); a 3 =f (3); a 4 =f (4);…
Итак, члены последовательности обозначаются буквами с указанием индексов — порядковых номеров их членов: a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;…, следовательно, a 1 — первый член последовательности;
a 2 - второй член последовательности;
a 3 - третий член последовательности;
a 4 - четвертый член последовательности и т.д.
Кратко числовую последовательность записывают так: a n =f (n) или {a n }.
Существуют следующие способы задания числовой последовательности:
1) Словесный способ. Представляет собой закономерность или правило расположения членов последовательности, описанный словами.
Пример 1 . Написать последовательность всех неотрицательных чисел, кратных числу 5.
Решение. Так как на 5 делятся все числа, оканчивающиеся на 0 или на 5, то последовательность запишется так:
0; 5; 10; 15; 20; 25; ...
Пример 2. Дана последовательность: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... . Задайте ее словесным способом.
Решение. Замечаем, что 1=1 2 ; 4=2 2 ; 9=3 2 ; 16=4 2 ; 25=5 2 ; 36=6 2 ; … Делаем вывод: дана последовательность, состоящая из квадратов чисел натурального ряда.
2) Аналитический способ. Последовательность задается формулой n-го члена: a n =f (n). По этой формуле можно найти любой член последовательности.
Пример 3. Известно выражение k-го члена числовой последовательности: a k = 3+2·(k+1). Вычислите первые четыре члена этой последовательности.
a 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7;
a 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9;
a 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11;
a 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13.
Пример 4. Определите правило составления числовой последовательности по нескольким ее первым членам и выразите более простой формулой общий член последовательности: 1; 3; 5; 7; 9; ... .
Решение. Замечаем, что дана последовательность нечетных чисел. Любое нечетное число можно записать в виде: 2k-1, где k — натуральное число, т.е. k=1; 2; 3; 4; ... . Ответ: a k =2k-1.
3) Рекуррентный способ. Последовательность также задается формулой, но не формулой общего члена, зависящей только от номера члена. Задается формула, по которой каждый следующий член находят через предыдущие члены. В случае рекуррентного способа задания функции всегда дополнительно задается один или несколько первых членов последовательности.
Пример 5. Выписать первые четыре члена последовательности {a n },
если a 1 =7; a n+1 = 5+a n .
a 2 =5+a 1 =5+7=12;
a 3 =5+a 2 =5+12=17;
a 4 =5+a 3 =5+17=22. Ответ: 7; 12; 17; 22; ... .
Пример 6. Выписать первые пять членов последовательности {b n },
если b 1 = -2, b 2 = 3; b n+2 = 2b n +b n+1 .
b 3 = 2∙b 1 + b 2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1;
b 4 = 2∙b 2 + b 3 = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5;
b 5 = 2∙b 3 + b 4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Ответ: -2; 3; -1; 5; 3; ... .
4) Графический способ. Числовая последовательность задается графиком, который представляет собой изолированные точки. Абсциссы этих точек — натуральные числа: n=1; 2; 3; 4; ... . Ординаты — значения членов последовательности: a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;… .
Пример 7. Запишите все пять членов числовой последовательности, заданной графическим способом.
Каждая точки в этой координатной плоскости имеет координаты (n; a n). Выпишем координаты отмеченных точек по возрастанию абсциссы n .
Получаем: (1 ; -3), (2 ; 1), (3 ; 4), (4 ; 6), (5 ; 7).
Следовательно, a 1 = -3; a 2 =1; a 3 =4; a 4 =6; a 5 =7.
Ответ: -3; 1; 4; 6; 7.
Рассмотренная числовая последовательность в качестве функции (в примере 7) задана на множестве первых пяти натуральных чисел (n=1; 2; 3; 4; 5), поэтому, является конечной числовой последовательностью (состоит из пяти членов).
Если числовая последовательность в качестве функции будет задана на всем множестве натуральных чисел, то такая последовательность будет бесконечной числовой последовательностью.
Числовую последовательность называют возрастающей
, если ее члены возрастают (a n+1 >a n) и убывающей, если ее члены убывают
(a n+1
Возрастающая или убывающая числовые последовательности называются монотонными
.
Статьи по теме
