Главная Ангиома

Определение абсолютной и относительной. Абсолютная, относительная погрешности

Физические величины характеризуются понятием «точность погрешности». Есть высказывание, что путем проведения измерений можно прийти к познанию. Так удастся узнать, какова высота дома или длина улицы, как и многие другие.

Введение

Разберемся в значении понятия «измерить величину». Процесс измерения заключается в том, чтобы сравнить её с однородными величинами, которые принимают в качестве единицы.

Для определения объёма используются литры, для вычисления массы применяются граммы. Чтобы было удобнее производить расчеты, ввели систему СИ международной классификации единиц.

За измерение длины вязли метры, массы - килограммы, объёма - кубические литры, времени - секунды, скорости - метры за секунду.

При вычислении физических величин не всегда нужно пользоваться традиционным способом, достаточно применить вычисление при помощи формулы. К примеру, для вычисления таких показателей, как средняя скорость, необходимо поделить пройденное расстояние на время, проведенное в пути. Так производятся вычисления средней скорости.

Применяя единицы измерения, которые в десять, сто, тысячу раз превышают показатели принятых измерительных единиц, их называют кратными.

Наименование каждой приставки соответствует своему числу множителя:

Дека.
Гекто.
Кило.
Мега.
Гига.
Тера.

В физической науке для записи таких множителей используется степень числа 10. К примеру, миллион обозначается как 10 6 .

В простой линейке длина имеет единицу измерения - сантиметр. Она в 100 раз меньше метра. 15-сантиметровая линейка имеет длину 0,15 м.

Линейка является простейшим видом измерительных приборов для того, чтобы измерять показатели длины. Более сложные приборы представлены термометром - чтобы гигрометром - чтобы определять влажность, амперметром - замерять уровень силы, с которой распространяется электрический ток.

Насколько точны будут показатели проведенных измерений?

Возьмем линейку и простой карандаш. Наша задача заключается в измерении длины этой канцелярской принадлежности.

Для начала потребуется определить, какова цена деления, указанная на шкале измерительного прибора. На двух делениях, которые являются ближайшими штрихами шкалы, написаны цифры, к примеру, «1» и «2».

Необходимо подсчитать, сколько делений заключено в промежутке этих цифр. При правильном подсчете получится «10». Вычтем от того числа, которое является большим, число, которое будет меньшим, и поделим на число, которое составляют деления между цифрами:

(2-1)/10 = 0,1 (см)

Так определяем, что ценой, определяющей деление канцелярской принадлежности, является число 0,1 см или 1 мм. Наглядно показано, как определяется показатель цены для деления с применением любого измерительного прибора.

Измеряя карандаш с длиной, которая немного меньше, чем 10 см, воспользуемся полученными знаниями. При отсутствии на линейке мелкого деления, следовал бы вывод, что предмет имеет длину 10 см. Это приблизительное значение названо измерительной погрешностью. Она указывает на тот уровень неточности, которая может допускаться при проведении измерений.

Определяя параметры длины карандаша с более высоким уровнем точности, большей ценой деления достигается большая измерительная точность, которая обеспечивает меньшую погрешность.

При этом абсолютно точного выполнения измерений не может быть. А показатели не должны превышать размеры цены деления.

Установлено, что размеры измерительной погрешности составляют ½ цены, которая указана на делениях прибора, который применяется для определения размеров.

После выполнения замеров карандаша в 9,7 см определим показатели его погрешности. Это промежуток 9,65 - 9,85 см.

Формулой, измеряющей такую погрешность, является вычисление:

А = а ± D (а)

А - в виде величины для измерительных процессов;

а - значение результата замеров;

D - обозначение абсолютной погрешности.

При вычитании или складывании величин с погрешностью результат будет равен сумме показателей погрешности, которую составляет каждая отдельная величина.

Знакомство с понятием

Если рассматривать в зависимости от способа её выражения, можно выделить такие разновидности:

Абсолютную.
Относительную.
Приведенную.

Абсолютная погрешность измерений обозначается буквой «Дельта» прописной. Это понятие определяется в виде разности между измеренными и действительными значениями той физической величины, которая измеряется.

Выражением абсолютной погрешность измерений являются единицы той величины, которую необходимо измерить.

При измерении массы она будет выражаться, к примеру, в килограммах. Это не эталон точности измерений.

Как рассчитать погрешность прямых измерений?

Есть способы изображения погрешности измерения и их вычисления. Для этого важно уметь определять физическую величину с необходимой точностью, знать, что такое абсолютная погрешность измерений, что её никто никогда не сможет найти. Можно вычислить только её граничное значение.

Даже если условно употребляется этот термин, он указывает именно на граничные данные. Абсолютная и относительная погрешность измерений обозначаются одинаковыми буквами, разница в их написании.

При измерении длины абсолютная погрешность будет измеряться в тех единицах, в которых исчисляться длина. А относительная погрешность вычисляется без размеров, так как она является отношением абсолютной погрешности к результату измерения. Такую величину часто выражают в процентах или в долях.

Абсолютная и относительная погрешность измерений имеют несколько разных способов вычисления в зависимости от того, какой физических величин.

Понятие прямого измерения

Абсолютная и относительная погрешность прямых измерений зависят от класса точности прибора и умения определять погрешность взвешивания.

Прежде чем говорить о том, как вычисляется погрешность, необходимо уточнить определения. Прямым называется измерение, при котором происходит непосредственное считывание результата с приборной шкалы.

Когда мы пользуемся термометром, линейкой, вольтметром или амперметром, то всегда проводим именно прямые измерения, так как применяем непосредственно прибор со шкалой.

Есть два фактора, которые влияют на результативность показаний:

Погрешностью приборов.
Погрешностью системы отсчета.

Граница абсолютной погрешности при прямых измерениях будет равна сумме погрешности, которую показывает прибор, и погрешности, которая происходит в процессе отсчета.

D = D (пр.) + D (отс.)

Пример с медицинским термометром

Показатели погрешности указаны на самом приборе. На медицинском термометре прописана погрешность 0,1 градусов Цельсия. Погрешность отсчета составляет половину цены деления.

D отс. = С/2

Если цена деления 0,1 градуса, то для медицинского термометра можно произвести вычисления:

D = 0,1 o С + 0,1 o С / 2 = 0,15 o С

На тыльной стороне шкалы другого термометра есть ТУ и указано, что для правильности измерений необходимо погружать термометр всей тыльной частью. не указана. Остается только погрешность отсчета.

Если цена деления шкалы этого термометра равна 2 o С, то можно измерять температуру с точностью до 1 o С. Таковы пределы допускаемой абсолютной погрешности измерений и вычисление абсолютной погрешности измерений.

Особую систему вычисления точности используют в электроизмерительных приборах.

Точность электроизмерительных приборов

Чтобы задать точность таких устройств, используется величина, называемая классом точности. Для её обозначения применяют букву «Гамма». Чтобы точно произвести определение абсолютной и относительной погрешности измерений, нужно знать класс точности прибора, который указан на шкале.

Возьмем, к примеру, амперметр. На его шкале указан класс точности, который показывает число 0,5. Он пригоден для измерений на постоянном и переменном токе, относится к устройствам электромагнитной системы.

Это достаточно точный прибор. Если сравнить его со школьным вольтметром, видно, что у него класс точности - 4. Эту величину обязательно знать для дальнейших вычислений.

Применение знаний

Таким образом, D c = c (max) Х γ /100

Этой формулой и будем пользоваться для конкретных примеров. Воспользуемся вольтметром и найдем погрешность измерения напряжения, которое дает батарейка.

Подключим батарейку непосредственно к вольтметру, предварительно проверив, стоит ли стрелка на нуле. При подключении прибора стрелка отклонилась на 4,2 деления. Это состояние можно охарактеризовать так:

Видно, что максимальное значение U для данного предмета равно 6.
Класс точности -(γ) = 4.
U(о) = 4,2 В.
С=0,2 В

Пользуясь этими данными формулы, абсолютная и относительная погрешность измерений вычисляется так:

D U = DU (пр.)+ С/2

D U (пр.) = U (max) Х γ /100

D U (пр.) = 6 В Х 4/100 = 0, 24 В

Это погрешность прибора.

Расчет абсолютной погрешности измерений в этом случае будет выполнен так:

D U = 0,24 В + 0,1 В = 0,34 В

По рассмотренной формуле без труда можно узнать, как рассчитать абсолютную погрешность измерений.

Существует правило округления погрешностей. Оно позволяет найти средний показатель между границей абсолютной погрешности и относительной.

Учимся определять погрешность взвешивания

Это один из примеров прямых измерений. На особом месте стоит взвешивание. Ведь у рычажных весов нет шкалы. Научимся определять погрешность такого процесса. На точность измерения массы влияет точность гирь и совершенство самих весов.

Мы пользуемся рычажными весами с набором гирь, которые необходимо класть именно на правую чашу весов. Для взвешивания возьмем линейку.

Перед началом опыта нужно уравновесить весы. Линейку кладем на левую чашу.

Масса будет равна сумме установленных гирь. Определим погрешность измерения этой величины.

D m = D m (весов) + D m (гирь)

Погрешность измерения массы складывается из двух слагаемых, связанных с весами и гирями. Чтобы узнать каждую из этих величин, на заводах по выпуску весов и гирь продукция снабжается специальными документами, которые позволяют вычислить точность.

Применение таблиц

Воспользуемся стандартной таблицей. Погрешность весов зависит от того, какую массу положили на весы. Чем она больше, тем, соответственно, больше и погрешность.

Даже если положить очень легкое тело, погрешность будет. Этот связано с процессом трения, происходящим в осях.

Вторая таблица относится к набору гирь. На ней указано, что каждая из них имеет свою погрешность массы. 10-граммовая имеет погрешность в 1 мг, как и 20-граммовая. Просчитаем сумму погрешностей каждой из этих гирек, взятой из таблицы.

Удобно писать массу и погрешность массы в двух строчках, которые расположены одна под другой. Чем меньше гири, тем точнее измерение.

Итоги

В ходе рассмотренного материала установлено, что определить абсолютную погрешность невозможно. Можно лишь установить её граничные показатели. Для этого используются формулы, описанные выше в вычислениях. Данный материал предложен для изучения в школе для учеников 8-9 классов. На основе полученных знаний можно решать задачи на определение абсолютной и относительной погрешности.

Погрешности измерений физических величин

1.Введение(измерения и погрешности измерений)

2.Случайные и систематические погрешности

3.Абсолютные и относительные погрешности

4.Погрешности средств измерений

5.Класс точности электроизмерительных приборов

6.Погрешность отсчета

7.Полная абсолютная погрешность прямых измерений

8.Запись окончательного результата прямого измерения

9.Погрешности косвенных измерений

10.Пример

1. Введение(измерения и погрешности измерений)

Физика как наука родилась более 300 лет назад, когда Галилей по сути создал научный изучения физических явлений: физические законы устанавливаются и проверяются экспериментально путем накопления и сопоставления опытных данных, представляемых набором чисел, формулируются законы языком математики, т.е. с помощью формул, связывающих функциональной зависимостью числовые значения физических величин. Поэтому физика- наука экспериментальная, физика- наука количественная.

Познакомимся с некоторыми характерными особенностями любых измерений.

Измерение- это нахождение числового значения физической величины опытным путем с помощью средств измерений (линейки, вольтметра, часы и т.д.).

Измерения могут быть прямыми и косвенными.

Прямое измерение- это нахождение числового значения физической величины непосредственно средствами измерений. Например, длину - линейкой, атмосферное давление- барометром.

Косвенное измерение- это нахождение числового значения физической величины по формуле, связывающей искомую величину с другими величинами, определяемыми прямыми измерениями. Например сопротивление проводника определяют по формуле R=U/I, где U и I измеряются электроизмерительными приборами.

Рассмотрим пример измерения.

Измерим длину бруска линейкой (цена деления 1 мм). Можно лишь утверждать, что длина бруска составляет величину между 22 и 23 мм. Ширина интервала “неизвестности составляет 1мм, те есть равна цене деления. Замена линейки более чувствительным прибором, например штангенциркулем снизит этот интервал, что приведет к повышению точности измерения. В нашем примере точность измерения не превышает 1мм.

Поэтому измерения никогда не могут быть выполнены абсолютно точно. Результат любого измерения приближенный. Неопределенность в измерении характеризуется погрешностью - отклонением измеренного значения физической величины от ее истинного значения.

Перечислим некоторые из причин, приводящих к появлению погрешностей.

1. Ограниченная точность изготовления средств измерения.

2. Влияние на измерение внешних условий (изменение температуры, колебание напряжения...).

3. Действия экспериментатора (запаздывание с включением секундомера, различное положение глаза...).

4. Приближенный характер законов, используемых для нахождения измеряемых величин.

Перечисленные причины появления погрешностей неустранимы, хотя и могут быть сведены к минимуму. Для установления достоверности выводов, полученных в результате научных исследований существуют методы оценки данных погрешностей.

2. Случайные и систематические погрешности

Погрешности, возникаемые при измерениях делятся на систематические и случайные.

Систематические погрешности- это погрешности, соответствующие отклонению измеренного значения от истинного значения физической величины всегда в одну сторону (повышения или занижения). При повторных измерениях погрешность остается прежней.

Причины возникновения систематических погрешностей:

1) несоответствие средств измерения эталону;

2) неправильная установка измерительных приборов (наклон, неуравновешенность);

3) несовпадение начальных показателей приборов с нулем и игнорирование поправок, которые в связи с этим возникают;

4) несоответствие измеряемого объекта с предположением о его свойствах (наличие пустот и т.д).

Случайные погрешности- это погрешности, которые непредсказуемым образом меняют свое численное значение. Такие погрешности вызываются большим числом неконтролируемых причин, влияющих на процесс измерения (неровности на поверхности объекта, дуновение ветра, скачки напряжения и т.д.). Влияние случайных погрешностей может быть уменьшено при многократном повторении опыта.

3. Абсолютные и относительные погрешности

Для количественной оценки качества измерений вводят понятия абсолютной и относительной погрешностей измерений.

Как уже говорилось, любое измерение дает лишь приближенное значение физической величины, однако можно указать интервал, который содержит ее истинное значение:

А пр - D А < А ист < А пр + D А

Величина D А называется абсолютной погрешностью измерения величины А. Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины. Абсолютная погрешность равна модулю максимально возможного отклонения значения физической величины от измеренного значения. А пр - значение физической величины, полученное экспериментально, если измерение проводилось многократно, то среднее арифметическое этих измерений.

Но для оценки качества измерения необходимо определить относительную погрешность e . e = D А/А пр или e= (D А/А пр)*100%.

Если при измерении получена относительная погрешность более 10%, то говорят, что произведена лишь оценка измеряемой величины. В лабораториях физического практикума рекомендуется проводить измерения с относительной погрешностью до 10%. В научных лабораториях некоторые точные измерения (например определение длины световой волны), выполняются с точностью миллионных долей процента.

4. Погрешности средств измерений

Эти погрешности называют еще инструментальными или приборными. Они обусловлены конструкцией измерительного прибора, точностью его изготовления и градуировки. Обычно довольствуются о допустимых инструментальных погрешностях, сообщаемых заводом изготовителем в паспорте к данному прибору. Эти допустимые погрешности регламентируются ГОСТами. Это относится и к эталонам. Обычно абсолютную инструментальную погрешность обозначают D иА.

Если сведений о допустимой погрешности не имеется (например у линейки), то в качестве этой погрешности можно принять половину цены деления.

При взвешивании абсолютная инструментальная погрешность складывается из инструментальных погрешностей весов и гирь. В таблице приведены допустимые погрешности наиболее часто

встречающихся в школьном эксперименте средств измерения.

Средства измерения	Предел измерения	Цена деления	Допустимаяпогрешность
линейка ученическая
линейка демонстрационная
лента измерительная
мензурка
гири 10,20, 50 мг
гири 100,200 мг
гири 500 мг







штангенциркуль
микрометр
динамометр
весы учебные
Секундомер			1с за 30 мин
барометр-анероид	720-780 мм рт.ст.	1 мм рт.ст	3 мм рт.ст
термометр лабораторный	0-100 градусов С
амперметр школьный
вольтметр школьный

5. Класс точности электроизмерительных приборов

Стрелочные электроизмерительные приборы по допустимым значениям погрешностям делятся на классы точности, которые обозначены на шкалах приборов числами 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. Класс точности g пр прибора показывает, сколько процентов составляет абсолютная погрешность от всей шкалы прибора.

g пр = (D и А/А макс)*100% .

Например абсолютная инструментальная погрешность прибора класса 2,5 составляет 2,5% от его шкалы.

Если известен класс точности прибора и его шкала, то можно определить абсолютную инструментальную погрешность измерения

D иА=( g пр * А макс)/100.

Для повышения точности измерения стрелочным электроизмерительным прибором надо выбирать прибор с такой шкалой, чтобы в процессе измерения располагались во второй половине шкалы прибора.

6. Погрешность отсчета

Погрешность отсчета получается от недостаточно точного отсчитывания показаний средств измерений.

В большинстве случаев абсолютную погрешность отсчета принимают равной половине цены деления. Исключения составляют измерения стрелочными часами (стрелки передвигаются рывками).

Абсолютную погрешность отсчета принято обозначать D оА

7. Полная абсолютная погрешность прямых измерений

При выполнении прямых измерений физической величины А нужно оценивать следующие погрешности: D иА, D оА и D сА (случайную). Конечно, иные источники ошибок, связанные с неправильной установкой приборов, несовмещение начального положения стрелки прибора с 0 и пр. должны быть исключены.

Полная абсолютная погрешность прямого измерения должна включать в себя все три вида погрешностей.

Если случайная погрешность мала по сравнению с наименьшим значением, которое может быть измерено данным средством измерения (по сравнению с ценой деления), то ее можно пренебречь и тогда для определения значения физической величины достаточно одного измерения. В противном случае теория вероятностей рекомендует находить результат измерения как среднее арифметическое значение результатов всей серии многократных измерений, погрешность результата вычислять методом математической статистики. Знание этих методов выходит за пределы школьной программы.

8. Запись окончательного результата прямого измерения

Окончательный результат измерения физической величины А следует записывать в такой форме;

А=А пр + D А, e= (D А/А пр)*100%.

А пр - значение физической величины, полученное экспериментально, если измерение проводилось многократно, то среднее арифметическое этих измерений. D А- полная абсолютная погрешность прямого измерения.

Абсолютную погрешность обычно выражают одной значащей цифрой.

Пример: L=(7,9 + 0,1) мм, e=13%.

9. Погрешности косвенных измерений

При обработке результатов косвенных измерений физической величины, связанной функционально с физическими величинами А, В и С, которые измеряются прямым способом, сначала определяют относительную погрешность косвенного измерения e= D Х/Х пр, пользуясь формулами, приведенными в таблице (без доказательств).

Абсолютную погрешность определяется по формуле D Х=Х пр *e,

где e выражается десятичной дробью, а не в процентах.

Окончательный результат записывается так же, как и в случае прямых измерений.

Вид функции	Формула
Х=А+В+С
Х=А-В
Х=АВС
Х=А n
Х=А/В

Пример: Вычислим погрешность измерения коэффициента трения с помощью динамометра. Опыт заключается в том, что брусок равномерно тянут по горизонтальной поверхности и измеряют прикладываемую силу: она равна силе трения скольжения.

С помощью динамометра взвесим брусок с грузами: 1,8 Н. F тр =0,6 Н

μ=0,33.Инструментальная погрешность динамометра (находим по таблице) составляет Δ и =0,05Н, Погрешность отсчета (половина цены деления)

Δ о =0,05Н.Абсолютная погрешность измерения веса и силы трения 0,1 Н.

Относительная погрешность измерения (в таблице 5-я строчка)

, следовательно абсолютная погрешность косвенного измерения μ составляет0,22*0,33=0,074

Абсолютную и относительную погрешность используют для оценки неточности в производимых расчетах с высокой сложностью. Также они используются в различных измерениях и для округления результатов вычислений. Рассмотрим, как определить абсолютную и относительную погрешность.

Абсолютная погрешность

Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример : в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.

Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.

Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.

На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.

Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например , длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.

Относительная погрешность

Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374. Получим число 0,0695, переведем в проценты и получим 6%. Относительную погрешность обозначают процентами, потому что это безразмерная величина. Относительная погрешность – это точная оценка ошибки измерений. Если взять абсолютную погрешность в 1 см при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10% и 0,1%. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1см очень велика, это ошибка в 10%. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, всего 0,1%.

Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.

Правила подсчета погрешностей

Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:

при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.

Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.

Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например , для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.

Что мы узнали?

Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.

При измерении какой-нибудь величины неизменно есть некоторое отклонение от правдивого значения, от того что ни один прибор не может дать точного итога. Для того, дабы определить допустимые отклонения полученных данных от точного значения, применяют представления относительной и безусловной погрешности.

Вам понадобится

– итоги измерений;
– калькулятор.

Инструкция

1. В первую очередь, проведите несколько измерений прибором одной и той же величины, дабы иметь вероятность посчитать действительное значение. Чем огромнее будет проведено измерений, тем вернее будет итог. Скажем, взвесьте яблоко на электронных весах. Возможен, вы получили итоги 0,106, 0,111, 0,098 кг.

2. Сейчас посчитайте действительное значение величины (действительное, от того что правдивое обнаружить нереально). Для этого сложите полученные итоги и поделите их на число измерений, то есть обнаружьте среднее арифметическое. В примере действительное значение будет равно (0,106+0,111+0,098)/3=0,105.

3. Для расчета безусловной погрешности первого измерения вычитайте из итога действительное значение: 0,106-0,105=0,001. Таким же образом вычислите безусловные погрешности остальных измерений. Обратите внимание, самостоятельно от того, получится итог с минусом либо с плюсом, знак погрешности неизменно позитивный (то есть вы берете модуль значения).

4. Дабы получить относительную погрешность первого измерения, поделите безусловную погрешность на действительное значение: 0,001/0,105=0,0095. Обратите внимание, обыкновенно относительная погрешность измеряется в процентах, следственно умножьте полученное число на 100%: 0,0095х100%=0,95%. Таким же образом считайте относительные погрешности остальных измерений.

5. Если правдивое значение теснее вестимо, сразу принимайтесь за расчет погрешностей, исключив поиск среднего арифметического итогов измерений. Сразу вычитайте из правдивого значения полученный итог, при этом вы обнаружите безусловную погрешность.

6. После этого разделяете безусловную погрешность на правдивое значение и умножайте на 100% – это будет относительная погрешность. Скажем, число учеников 197, но его округлили до 200. В таком случае рассчитайте погрешность округления: 197-200=3, относительная погрешность: 3/197х100%=1,5%.

Погрешность является величиной, которая определяет допустимые отклонения полученных данных от точного значения. Существуют представления относительной и безусловной погрешности. Их нахождение – одна из задач математического обзора. Впрочем на практике больше значимо бывает посчитать погрешность разброса какого-нибудь измеряемого показателя. Физические приборы имеют собственную возможную погрешность. Но не только ее надобно рассматривать при определении показателя. Для подсчета погрешности разброса σ нужно провести несколько измерений данной величины.

Вам понадобится

Прибор для измерения требуемой величины

Инструкция

1. Измерьте прибором либо другим средством измерения надобную вам величину. Повторите измерения несколько раз. Тем огромнее будет получено значений, тем выше точность определения погрешности разброса. Традиционно проводят 6-10 измерений. Запишите полученный комплект значений измеряемой величины.

2. Если все полученные значения равны, следственно, погрешность разброса равна нулю. Если же в ряду есть отличающиеся значения, вычислите погрешность разброса. Для ее определения существует особая формула.

3. Согласно формуле, вычислите вначале среднюю величину <х> из полученных значений. Для этого сложите все значения, а их сумму поделите на число проводимых измерений n.

4. Определите поочередно разность между всей полученной величиной и средним значением <х>. Запишите итоги полученных разностей. После этого возведите все разности в квадрат. Обнаружьте сумму данных квадратов. Сбережете конечный полученный итог суммы.

5. Вычислите выражение n(n-1), где n – число проводимых вами измерений. Поделите итог суммы из предыдущего вычисления на полученное значение.

6. Возьмите корень квадратный частного от деления. Это и будет погрешность разброса σ, измеренной вами величины.

Проводя измерения, невозможно гарантировать их точность, всякий прибор дает некую погрешность . Дабы узнать точность измерений либо класс точности прибора, нужно определить безусловную и относительную погрешность .

Вам понадобится

– несколько итогов измерений либо иная выборка;
– калькулятор.

Инструкция

1. Проведите измерения не менее 3-5 раз, дабы иметь вероятность посчитать действительное значение параметра. Сложите полученные итоги и поделите их на число измерений, вы получили действительное значение, которое применяется в задачах взамен правдивого (его определить нереально). Скажем, если измерения дали итог 8, 9, 8, 7, 10, то действительное значение будет равно (8+9+8+7+10)/5=8,4.

2. Обнаружьте безусловную погрешность всего измерения. Для этого из итога измерения вычитайте действительное значение, знаками пренебрегайте. Вы получите 5 безусловных погрешностей, по одному для всякого измерения. В примере они будут равны 8-8,4 = 0,4, 9-8,4 =0,6, 8-8,4=0,4, 7-8,4 =1,4, 10-8,4=1,6 (взяты модули итогов).

3. Дабы узнать относительную погрешность всякого измерения, поделите безусловную погрешность на действительное (правдивое) значение. После этого умножьте полученный итог на 100%, традиционно именно в процентах измеряется эта величина. В примере обнаружьте относительную погрешность таким образом: ?1=0,4/8,4=0,048 (либо 4,8%), ?2=0,6/8,4=0,071 (либо 7,1 %), ?3=0,4/8,4=0,048 (либо 4,8%), ?4=1,4/8,4=0,167 (либо 16,7%), ?5=1,6/8,4=0,19 (либо 19%).

4. На практике для особенно точного отображения погрешности применяют среднее квадратическое отклонение. Дабы его обнаружить, возведите в квадрат все безусловные погрешности измерения и сложите между собой. После этого поделите это число на (N-1), где N – число измерений. Вычислив корень из полученного итога, вы получите среднее квадратическое отклонение, характеризующее погрешность измерений.

5. Дабы обнаружить предельную безусловную погрешность , обнаружьте минимальное число, заведомо превышающее безусловную погрешность либо равное ему. В рассмотренном примере примитивно выберите наибольшее значение – 1,6. Также изредка нужно обнаружить предельную относительную погрешность , в таком случае обнаружьте число, превышающее либо равное относительной погрешности, в примере она равна 19%.

Неотделимой частью всякого измерения является некоторая погрешность . Она представляет собой добротную отзыв точности проведенного изыскания. По форме представления она может быть безусловной и относительной.

Вам понадобится

– калькулятор.

Инструкция

1. Погрешности физических измерений подразделяются на систематические, случайные и дерзкие. Первые вызываются факторами, которые действуют идентично при многократном повторении измерений. Они непрерывны либо правомерно изменяются. Они могут быть вызваны неправильной установкой прибора либо несовершенством выбранного способа измерения.

2. Вторые появляются от могущества причин, и беспричинный нрав. К ним дозволено отнести неправильное округление при подсчете показаний и могущество окружающей среды. Если такие ошибки гораздо поменьше, чем деления шкалы этого прибора измерения, то в качестве безусловной погрешности уместно взять половину деления.

3. Промах либо дерзкая погрешность представляет собой итог слежения, тот, что круто отличается от всех остальных.

4. Безусловная погрешность приближенного числового значения – это разность между итогом, полученным в ходе измерения и правдивым значением измеряемой величины. Правдивое либо действительное значение особенно верно отражает исследуемую физическую величину. Эта погрешность является самой легкой количественной мерой ошибки. Её дозволено рассчитать по дальнейшей формуле: ?Х = Хисл – Хист. Она может принимать позитивное и негативное значение. Для большего понимания разглядим пример. В школе 1205 учащихся, при округлении до 1200 безусловная погрешность равняется: ? = 1200 – 1205 = 5.

5. Существуют определенные правила расчета погрешности величин. Во-первых, безусловная погрешность суммы 2-х самостоятельных величин равна сумме их безусловных погрешностей: ?(Х+Y) = ?Х+?Y. Подобный подход применим для разности 2-х погрешностей. Дозволено воспользоваться формулой: ?(Х-Y) = ?Х+?Y.

6. Поправка представляет собой безусловную погрешность , взятую с обратным знаком: ?п = -?. Её применяют для исключения систематической погрешности.

Измерения физических величин неизменно сопровождаются той либо другой погрешностью . Она представляет собой отклонение итогов измерения от правдивого значения измеряемой величины.

Вам понадобится

-измерительный прибор:
-калькулятор.

Инструкция

1. Погрешности могут появиться в итоге могущества разных факторов. Среди них дозволено выделить несовершенство средств либо способов измерения, неточности при их изготовлении, неисполнение особых условий при проведении изыскания.

2. Существует несколько систематизаций погрешностей. По форме представления они могут быть безусловными, относительными и приведенными. Первые представляют собой разность между исчисленным и действительным значением величины. Выражаются в единицах измеряемого явления и находятся по формуле:?х = хисл- хист. Вторые определяются отношением безусловных погрешностей к величине правдивого значения показателя.Формула расчета имеет вид:? = ?х/хист. Измеряется в процентах либо долях.

3. Приведенная погрешность измерительного прибора находится как отношение?х к нормирующему значению хн. В зависимости типа прибора оно принимается либо равным пределу измерений, либо отнесено к их определенному диапазону.

4. По условиям происхождения различают основные и добавочные. Если измерения проводились в типичных условиях, то появляется 1-й вид. Отклонения, обусловленные выходом значений за пределы типичных, является дополнительной. Для ее оценки в документации обыкновенно устанавливают нормы, в пределах которых может изменяться величина при нарушении условий проведения измерений.

5. Также погрешности физических измерений подразделяются на систематические, случайные и дерзкие. Первые вызываются факторами, которые действуют при многократном повторении измерений. Вторые появляются от могущества причин, и беспричинный нрав. Промах представляет собой итог слежения, тот, что круто отличается от всех остальных.

6. В зависимости от нрава измеряемой величины могут применяться разные методы измерения погрешности. 1-й из них это способ Корнфельда. Он основан на исчислении доверительного промежутка в пределах от малейшего до максимального итога. Погрешность в этом случае будет представлять собой половину разности этих итогов: ?х = (хmax-xmin)/2. Еще один из методов – это расчет средней квадратической погрешности.

Измерения могут проводиться с различной степенью точности. При этом безусловно точными не бывают даже прецизионные приборы. Безусловная и относительная погрешности могут быть малы, но в действительности они есть фактически неизменно. Разница между приближенным и точным значениями некой величины именуется безусловной погрешностью . При этом отклонение может быть как в крупную, так и в меньшую сторону.

Вам понадобится

– данные измерений;
– калькулятор.

Инструкция

1. Перед тем как рассчитывать безусловную погрешность, примите за начальные данные несколько постулатов. Исключите дерзкие погрешности. Примите, что нужные поправки теснее вычислены и внесены в итог. Такой поправкой может быть, скажем, перенос начальной точки измерений.

2. Примите в качестве начального расположения то, что знамениты и учтены случайные погрешности. При этом подразумевается, что они поменьше систематических, то есть безусловной и относительной, характерных именно для этого прибора.

3. Случайные погрешности влияют на итог даже высокоточных измерений. Следственно всякий итог будет больше либо менее приближенным к безусловному, но неизменно будут расхождения. Определите данный промежуток. Его дозволено выразить формулой (Xизм- ?Х)?Хизм? (Хизм+?Х).

4. Определите величину, максимально приближенную к правдивому значению. В реальных измерениях берется среднее арифметическое, которое дозволено обнаружить по формуле, изображенной на рисунке. Примите итог за правдивую величину. Во многих случаях в качестве точного принимается показание эталонного прибора.

5. Зная правдивую величину измерения, вы можете обнаружить безусловную погрешность, которую нужно рассматривать при всех последующих измерениях. Обнаружьте величину Х1 – данные определенного измерения. Определите разность?Х, отняв от большего числа меньшее. При определении погрешности учитывается только модуль этой разности.

Обратите внимание!
Как водится, на практике безусловно точное измерение провести не получается. Следственно за эталонную величину принимается предельная погрешность. Она представляет собой наивысшее значение модуля безусловной погрешности.

Полезный совет
В утилитарных измерениях за величину безусловной погрешности обыкновенно принимается половина наименьшей цены деления. При действиях с числами за безусловную погрешность принимается половина значения цифры, которая находится в дальнейшим за точными цифрами разряде. Для определения класса точности прибора больше главным бывает отношение безусловной погрешности к итогу измерений либо к длине шкалы.

Погрешности измерений связаны с несовершенством приборов, инструментов, методологии. Точность зависит также от наблюдательности и состояния экспериментатора. Погрешности разделяются на безусловные, относительные и приведенные.

Инструкция

1. Пускай однократное измерение величины дало итог x. Правдивое значение обозначено за x0. Тогда безусловная погрешность ?x=|x-x0|. Она оценивает безусловную ошибку измерения. Безусловная погрешность складывается из 3 составляющих: случайных погрешностей, систематических погрешностей и промахов. Обыкновенно при измерении прибором берут в качестве погрешности половину цены деления. Для миллиметровой линейки это будет 0,5 мм.

2. Правдивое значение измеряемой величины находится в интервале (x-?x ; x+?x). Короче это записывается как x0=x±?x. Главно измерять x и?x в одних и тех же единицах измерения и записывать в одном и том же формате числа, скажем, целая часть и три цифры позже запятой. Выходит, безусловная погрешность дает границы промежутка, в котором с некоторой вероятностью находится правдивое значение.

3. Относительная погрешность выражает отношение безусловной погрешности к действительному значению величины: ?(x)=?x/x0. Это безразмерная величина, она может записываться также в процентах.

4. Измерения бывают прямые и косвенные. В прямых измерениях сразу замеряется желанная величина соответствующим прибором. Скажем, длина тела измеряется линейкой, напряжение – вольтметром. При косвенных измерениях величина находится по формуле зависимости между ней и замеряемыми величинами.

5. Если итог представляет собой связанность от 3 непринужденно измеряемых величин, имеющих погрешности?x1, ?x2, ?x3, то погрешность косвенного измерения?F=?[(?x1 ?F/?x1)?+(?x2 ?F/?x2)?+(?x3 ?F/?x3)?]. Тут?F/?x(i) – частные производные от функции по всякой из непринужденно измеряемых величин.

Полезный совет
Промахи – это дерзкие неточности измерений, возникающие при неисправности приборов, невнимательности экспериментатора, нарушении методологии эксперимента. Дабы уменьшить вероятность таких промахов, при проведении измерений будьте внимательны и детально расписывайте полученный итог.

Итог всякого измерения неминуемо сопровождается отклонением от правдивого значения. Вычислить погрешность измерения дозволено несколькими методами в зависимости от ее типа, скажем, статистическими способами определения доверительного промежутка, среднеквадратического отклонения и пр.

Инструкция

1. Существует несколько причин, по которым появляются погрешности измерений . Это приборная неточность, несовершенство методологии, а также ошибки, вызванные невнимательностью оператора, проводящего замеры. Помимо того, зачастую за правдивое значение параметра принимают его действительную величину, которая на самом деле является лишь особенно возможной, исходя из обзора статистической выборки итогов серии экспериментов.

2. Погрешность – это мера отклонения измеряемого параметра от его правдивого значения. Согласно способу Корнфельда, определяют доверительный промежуток, тот, что гарантирует определенную степень безопасности. При этом находят так называемые доверительные пределы, в которых колеблется величина, а погрешность вычисляют как полусумму этих значений:? = (xmax – xmin)/2.

3. Это интервальная оценка погрешности , которую имеет толк проводить при маленьком объеме статистической выборки. Точечная оценка заключается в вычислении математического ожидания и среднеквадратического отклонения.

4. Математическое ожидание представляет собой интегральную сумму ряда произведений 2-х параметров слежений. Это, собственно, значения измеряемой величины и ее вероятности в этих точках:М = ?xi pi.

5. Классическая формула для вычисления среднеквадратического отклонения полагает расчет среднего значения анализируемой последовательности значений измеряемой величины, а также рассматривает объем серии проведенных экспериментов:? = ?(?(xi – xср)?/(n – 1)).

6. По методу выражения выделяют также безусловную, относительную и приведенную погрешность. Безусловная погрешность выражается в тех же единицах, что и измеряемая величина, и равна разности между ее расчетным и правдивым значением:?x = x1 – x0.

7. Относительная погрешность измерения связана с безусловной, впрочем является больше высокоэффективной. Она не имеет размерности, изредка выражается в процентах. Ее величина равна отношению безусловной погрешности к правдивому либо расчетному значению измеряемого параметра:?x = ?x/x0 либо?x = ?x/x1.

8. Приведенная погрешность выражается отношением между безусловной погрешностью и некоторым условно принятым значением x, которое является постоянным для всех измерений и определяется по градуировке шкалы прибора. Если шкала начинается с нуля (односторонняя), то это нормирующее значение равно ее верхнему пределу, а если двусторонняя – ширине каждого ее диапазона:? = ?x/xn.

Самоконтроль при диабете считается значимым компонентом лечения. Для измерения сахара крови в домашних условиях применяется глюкометр. Возможная погрешность у этого прибора выше, чем у лабораторных анализаторов гликемии.

Измерение сахара крови нужно для оценки результативности лечения диабета и для коррекции дозы препаратов. От назначенной терапии зависит то, сколько раз в месяц понадобится мерить сахар. Изредка забор крови на обзор необходим неоднократно в течение дня, изредка довольно 1-2 раз в неделю. Самоконтроль исключительно нужен беременным и больным 1 типом диабета.

Допустимая погрешность у глюкометра по мировым стандартам

Глюкометр не считается высокоточным прибором. Он предуготовлен только для ориентировочного определения концентрации сахара в крови. Возможная погрешность у глюкометра по мировым эталонам составляет 20% при гликемии больше 4,2 ммоль/л. Скажем, если при самоконтроле зафиксирован ярус сахара 5 ммоль/л, то настоящее значение концентрации находится в интервале от 4 до 6 ммоль/л. Возможная погрешность у глюкометра в стандартных условиях измеряется в процентах, а не в ммоль/л. Чем выше показатели, тем огромнее погрешность в безусловных числах. Скажем, если сахар крови достигает около 10 ммоль/л, то оплошность не превышает 2 ммоль/л, а если сахар – около 20 ммоль/л, то разница с итогом лабораторного измерения может быть до 4 ммоль/л. В большинстве случаев глюкометр завышает показатели гликемии.Эталоны допускают превышение заявленной погрешности измерения в 5% случаев. Это значит, что всякое двадцатое изыскание может значительно искажать итоги.

Допустимая погрешность у глюкометров различных фирм

Глюкометры подлежат непременной сертификации. В сопровождающих прибор документах обыкновенно указаны цифры возможной погрешности измерений. Если этого пункта нет в инструкции, то погрешность соответствует 20%. Некоторые изготовители глюкометров уделяют специальное внимание точности измерений. Существуют приборы европейских фирм, которые имеют возможную погрешность поменьше 20%. Лучший показатель на сегодняшний день составляет 10-15%.

Погрешность у глюкометра при самоконтроле

Допустимая погрешность измерения характеризует работу прибора. На точность изыскания влияют и некоторые другие факторы. Ненормально подготовленная кожа, слишком малый либо огромный объем полученной капли крови, недопустимый температурный режим – все это может приводить к ошибкам. Только в том случае, если все правила самоконтроля соблюдаются, дозволено рассчитывать на заявленную возможную погрешность изыскания. Правила самоконтроля с поддержкой глюкометра дозволено узнать у лечащего доктора.Точность глюкометра дозволено проверить в сервисном центре. Гарантийные обязательства изготовителей предусматривают бесплатные консультации и устранение неполадок.

Ни одно измерение не свободно от погрешностей, или, точнее, вероятность измерения без погрешностей приближается к нулю. Род и причины погрешностей весьма разнообразны и на них влияют многие факторы (рис.1.2).

Общая характеристика влияющих факторов может быть систематизирована с различных точек зрения, например, по влиянию перечисленных факторов (рис.1.2).

По результатам измерения погрешности можно разделить на три вида: систематические, случайные и промахи.

Систематические погрешности, в свою очередь, делят на группы по причине их возникновения и характеру проявления. Они могут быть устранены различными способами, например, введением поправок.

рис. 1.2

Случайные погрешности вызываются сложной совокупностью изменяющихся факторов, обычно неизвестных и трудно поддающихся анализу. Их влияние на результат измерения можно уменьшить, например, путем многократных измерений с дальнейшей статистической обработкой полученных результатов методом теории вероятностей.

К промахам относятся грубые погрешности, которые возникают при внезапных изменениях условия эксперимента. Эти погрешности по своей природе тоже случайны, и после выявления должны быть исключены.

Точность измерений оценивается погрешностями измерений, которые подразделяются по природе возникновения на инструментальную и методическую и по методу вычислений на абсолютную, относительную и приведенную.

Инструментальная погрешность характеризуется классом точности измерительного прибора, который приведен в его паспорте в виде нормируемых основной и дополнительных погрешностей.

Методическая погрешность обусловлена несовершенством методов и средств измерений.

Абсолютная погрешность есть разность между измеренным G u и истинным G значениями величины, определяемая по формуле:

Δ=ΔG=G u -G

Заметим, что величина имеет размерность измеряемой величины.

Относительную погрешность находят из равенства

δ=±ΔG/G u ·100%

Приведенную погрешность рассчитывают по формуле (класс точности измерительного прибора)

δ=±ΔG/G норм ·100%

где G норм – нормирующее значение измеряемой величины. Ее принимают равной:

а) конечному значению шкалы прибора, если нулевая отметка находится на краю или вне шкалы;

б) сумме конечных значений шкалы без учета знаков, если нулевая отметка расположена внутри шкалы;

в) длине шкалы, если шкала неравномерная.

Класс точности прибора устанавливается при его проверке и является нормируемой погрешностью, вычисляемой по формулам

γ=±ΔG/G норм ·100%, если ΔG m =const

где ΔG m – наибольшая возможная абсолютная погрешность прибора;

G k – конечное значение предела измерения прибора; с и d – коэффициенты, учитывающие конструктивные параметры и свойства измерительного механизма прибора.

Например, для вольтметра с постоянной относительной погрешностью имеет место равенство

δ m =±c

Относительная и приведенная погрешности связаны следующими зависимостями:

а) для любого значения приведенной погрешности

δ=±γ·G норм /G u

б) для наибольшей приведенной погрешности

δ=±γ m ·G норм /G u

Из этих соотношений следует, что при измерениях, например вольтметром, в цепи при одном и том же значении напряжения относительная погрешность тем больше, чем меньше измеряемое напряжение. И если этот вольтметр выбран неправильно, то относительная погрешность может быть соизмерима со значением G н , что является недопустимым. Заметим, что в соответствии с терминологией решаемых задач, например, при измерении напряжения G = U , при измерении тока C = I , буквенные обозначения в формулах для вычисления погрешностей необходимо заменять на соответствующие символы.

Пример 1.1. Вольтметром, имеющим значения γ m = 1,0 % , U н = G норм, G k = 450 В , измеряют напряжение U u , равное 10 В. Оценим погрешности измерений.

Решение.

Ответ. Погрешность измерений составляет 45 %. При такой погрешности измеренное напряжение нельзя считать достоверным.

При ограниченных возможностях выбора прибора (вольтметра), методическая погрешность может быть учтена поправкой, вычисленной по формуле

Пример 1.2. Вычислить абсолютную погрешность вольтметра В7-26 при измерениях напряжения в цепи постоянного тока. Класс точности вольтметра задан максимально приведенной погрешностью γ m =±2,5 % . Используемый в работе предел шкалы вольтметра U норм =30 В.

Решение. Абсолютная погрешность вычисляется по известным формулам:

(так как приведенная погрешность, по определению, выражается формулой , то отсюда можно найти и абсолютную погрешность:

Ответ. ΔU = ±0,75 В .

Важными этапами в процессе измерений являются обработка результатов и правила округления. Теория приближенных вычислений позволяет, зная степень точности данных, оценить степень точности результатов еще до выполнения действий: отобрать данные с надлежащей степенью точности, достаточной для обеспечения требуемой точности результата, но не слишком большую, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчетов; рационализировать сам процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результаты.

При обработке результатов применяют правила округления.

Правило 1. Если первая из отбрасываемых цифр больше пяти, то последняя из сохраняемых цифр увеличивается на единицу.

Правило 2. Если первая из отбрасываемых цифр меньше пяти, то увеличение не делается.

Правило 3. Если отбрасываемая цифра равняется пяти, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее четное число, т.е. последняя сохраняемая цифра остается неизменной, если она четная, и увеличивается, если она не четная.

Если за цифрой пять есть значащие цифры, то округление производится по правилу 2.

Применяя правило 3 к округлению одного числа, мы не увеличиваем точность округления. Но при многочисленных округлениях избыточные числа будут встречаться примерно столь же часто, как недостаточно. Взаимная компенсация погрешности обеспечит наибольшую точность результата.

Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью.

Величина предельной погрешности не является вполне определенной. Для каждого приближенного числа должна быть известна его предельная погрешность (абсолютная или относительная).

Когда она прямо не указана, то подразумевается, что предельная абсолютная погрешность составляет половину единицы последнего выписанного разряда. Так, если приведено приближенное число 4,78 без указания предельной погрешности, то подразумевается, что предельная абсолютная погрешность составляет 0,005. Вследствие этого соглашения всегда можно обойтись без указания предельной погрешности числа, округленного по правилам 1-3, т.е., если приближенное число обозначить буквой α , то

Где Δn – предельная абсолютная погрешность; а δ n – предельная относительная погрешность.

Кроме того, при обработке результатов используются правила нахождения погрешности суммы, разности, произведения и частного.

Правило 1. Предельная абсолютная погрешность суммы равна сумме предельных абсолютных погрешностей отдельных слагаемых, но при значительном числе погрешностей слагаемых обычно происходит взаимная компенсация погрешностей, поэтому истинная погрешность суммы лишь в исключительных случаях совпадает с предельной погрешностью или близка к ней.

Правило 2. Предельная абсолютная погрешность разности равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого или вычитаемого.

Предельную относительную погрешность легко найти, вычислив предельную абсолютную погрешность.

Правило 3. Предельная относительная погрешность суммы (но не разности) лежит между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых.

Если все слагаемые имеют одну и ту же предельную относительную погрешность, то и сумма имеет ту же предельную относительную погрешность. Иными словами, в этом случае точность суммы (в процентном выражении) не уступает точности слагаемых.

В противоположность сумме разность приближенных чисел может быть менее точной, чем уменьшаемое и вычитаемое. Потеря точности особенно велика в том случае, когда уменьшаемое и вычитаемое мало отличаются друг от друга.

Правило 4. Предельная относительная погрешность произведения приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей: δ=δ 1 +δ 2 , или, точнее, δ=δ 1 +δ 2 +δ 1 δ 2 где δ – относительная погрешность произведения, δ 1 δ 2 - относительные погрешности сомножителей.

Примечания :

1. Если перемножаются приближенные числа с одним и тем же количеством значащих цифр, то в произведении следует сохранить столько же значащих цифр. Последняя из сохраняемых цифр будет не вполне надежна.

2. Если некоторые сомножители имеют больше значащих цифр, чем другие, то до умножения следует первые округлить, сохранив в них столько цифр, сколько имеет наименее точный сомножитель или еще одну (в качестве запасной), дальнейшие цифры сохранять бесполезно.

3. Если требуется, чтобы произведение двух чисел имело заранее данное число вполне надежное, то в каждом из сомножителей число точных цифр (полученное измерением или вычислением) должно быть на единицу больше. Если количество сомножителей больше двух и меньше десяти, то в каждом из сомножителей число точных цифр для полной гарантии должно быть на две единицы больше, чем требуемое число точных цифр. Практически же вполне достаточно взять лишь одну лишнюю цифру.

Правило 5. Предельная относительная погрешность частного приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя. Точная величина предельной относительной погрешности всегда превышает приближенную. Процент превышения примерно равен предельно относительной погрешности делителя.

Пример 1.3. Найти предельную абсолютную погрешность частного 2,81: 0,571.

Решение. Предельная относительная погрешность делимого есть 0,005:2,81=0,2%; делителя – 0,005:0,571=0,1%; частного – 0,2% + 0,1%=0,3%. Предельная абсолютная погрешность частного приближенно составит 2,81:0,571·0,0030=0,015

Значит, в частном 2,81:0,571=4,92 уже третья значащая цифра не надежна.

Ответ. 0,015.

Пример 1.4. Вычислить относительную погрешность показаний вольтметра, включенного по схеме (рис. 1.3), которая получается, если предположить, что вольтметр имеет бесконечно большое сопротивление и не вносит искажений в измеряемую цепь. Классифицировать погрешность измерения для этой задачи.

рис. 1.3

Решение. Обозначим показания реального вольтметра через И, а вольтметра с бесконечно большим сопротивлениемчерез И ∞ . Искомая относительная погрешность

Заметим, что

тогда получим

Так как R И >>R и R > r, то дробь в знаменателе последнего равенства много меньше единицы. Поэтому можно воспользоваться приближенной формулой , справедливой при λ≤1 для любого α . Предположив, что в этой формуле α = -1 и λ= rR (r+R) -1 R И -1 , получим δ ≈ rR/(r+R) R И .

Чем больше сопротивление вольтметра по сравнению с внешним сопротивлением цепи, тем меньше погрешность. Но условие R<

Ответ. Погрешность систематическая методическая.

Пример 1.5. В цепь постоянного тока (рис.1.4) включены приборы: А – амперметр типа М 330 класса точности К А = 1,5 с пределом измерения I k = 20 А; А 1 – амперметр типа М 366 класса точности К А1 = 1,0 с пределом измерения I к1 = 7,5 А. Найти наибольшую возможную относительную погрешность измерения тока I 2 и возможные пределы его действительного значения, если приборы показали, что I=8,0А. и I 1 = 6,0А. Классифицировать измерение.

рис. 1.4

Решение. Определяем ток I 2 по показаниям прибора (без учета их погрешностей): I 2 =I-I 1 =8,0-6,0=2,0 А.

Найдем модули абсолютных погрешностей амперметров А и А 1

Для А имеем равенство для амперметра

Найдем сумму модулей абсолютных погрешностей:

Следовательно, наибольшая возможная и той же величины, выраженная в долях этой величины, равна 1 . 10 3 – для одного прибора; 2·10 3 – для другого прибора. Какой из этих приборов будет наиболее точным?

Решение. Точность прибора характеризуется значением, обратным погрешности (чем точнее прибор, тем меньше погрешность), т.е. для первого прибора это составит 1/(1 . 10 3) = 1000, для второго – 1/(2 . 10 3) = 500. Заметим, что 1000 > 500. Следовательно, первый прибор точнее второго в два раза.

К аналогичному выводу можно прийти, проверив соответствие погрешностей: 2 . 10 3 / 1 . 10 3 = 2.

Ответ. Первый прибор в два раза точнее второго.

Пример 1.6. Найти сумму приближенных замеров прибора. Найти количество верных знаков: 0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0.0714 + 0,0667 + 0.0625 + 0,0588+ 0,0556 + 0,0526.

Решение. Сложив все результаты замеров, получим 0,6187. Предельная наибольшая погрешность суммы 0,00005·9=0,00045. Значит, в последнем четвертом знаке суммы возможна ошибка до 5 единиц. Поэтому округляем сумму до третьего знака, т.е. тысячных, получаем 0,619 – результат, в котором все знаки верные.

Ответ. 0,619. Количество верных знаков – три знака после запятой.

Статьи по теме